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et l’équation de condition deviendra, en supposant ${\frac {d\mathrm {Q} }{dq}}=\mathrm {Q} ',$

$\mathrm {Q} '{\frac {dq}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}-\mathrm {Q} {\frac {dq}{du}}+\mathrm {Q} 'q{\frac {dq}{du}}=0,$

à laquelle on peut satisfaire en prenant $q$ égal à une constante $\alpha ,$ ce qui rendra $\mathrm {Q}$ égal à une fonction de $x$ seul, en sorte que la quantité

$du-pdx-qdy,$

ou bien

$du-\mathrm {Q} dx-\alpha dy,$

sera intégrable d’elle-même. Ainsi l’on aura

$\mathrm {N} =u-\int \mathrm {Q} dx-\alpha y,$

et de là

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-\int {\frac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}dx-y=f'(\alpha )y,$

d’où l’on tirera $\alpha ,$ qu’on substituera dans l’équation

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0.$

Quatrième Cas. — Lorsqu’une fonction de $p$ et $x$ est égale à une fonction de $q$ et $y$.

Soit $\mathrm {P}$ une fonction de $p$ et $x,$ et $\mathrm {Q}$ une fonction de $q$ et $y$, en sorte qu’on ait

$\mathrm {P=Q} ,$

il est clair que si l’on prend une constante $\alpha$ et qu’on fasse

$\mathrm {P} =\alpha ,\quad \mathrm {Q} =\alpha ,$

on aura, par la première de ces équations, $p$ exprimé par une fonction de $x$ seul, et par la seconde on aura $q$ exprimé par $y$ seul ; en sorte que les différentielles ${\frac {dp}{dy}},\ {\frac {dp}{du}},\ {\frac {dq}{dx}},\ {\frac {dq}{du}}$ seront nulles d’elles-mêmes ; ainsi l’équation de condition se trouvera remplie, et il est visible que la quantité

$du-pdx-qdy$