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l’équation de condition deviendra la même que ci-dessus, à cause que

${\frac {dq}{dx}}=\mathrm {P} '{\frac {dp}{dx}},\quad {\frac {dq}{du}}=\mathrm {P} '{\frac {dp}{du}}\,;$

ainsi l’on y pourra satisfaire en prenant de même

$p=\alpha ,$

ce qui rendra $\mathrm {P}$ égal à une fonction de $y$ seul ; de sorte que la quantité

$du-pdx-qdy,$

savoir

$du-\alpha dx-\mathrm {P} dy,$

sera intégrable d’elle-même, et l’on aura

$\mathrm {N} =u-\alpha x-\int \mathrm {P} dy.$

de là on tirera

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-x-\int {\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}dy,$

par conséquent on aura l’équation

$f'(\alpha )=-x-\int {\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}dy,$

laquelle servira à déterminer $\alpha \,;$ ensuite de quoi on aura $u$ par l’équation

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0,$

ou bien

$u-\alpha x-\int \mathrm {P} dy-f(\alpha )=0.$

Troisième Cas. — Lorsque $q$ est une fonction de $p$ et de $x.$

Dans ce cas il est clair que la valeur de $p$ sera réciproquement exprimée par une fonction de $q$ et $x\,;$ donc regardant $q$ comme l’inconnue, et supposant $\mathrm {Q}$ une fonction de $q$ et $x,$ on aura

$p=\mathrm {Q} ,$