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on aura $n-1$ valeurs différentes de $x^{m}\,;$ ce seront les valeurs de $x_{2}^{m},$$x_{3}^{m},\ldots ,x_{n}^{m},$ et désignant par $x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}$ la seconde, la troisième, etc., jusqu’à la $n$^ième racine de l’équation proposée.

Ainsi l’on aura chacune des $n$ racines de cette équation, et même une puissance quelconque de ces racines. On pourra trouver aussi par nos formules une fonction quelconque de ces racines ; c’est sur quoi il ne paraît pas nécessaire d’entrer ici dans un plus grand détail.

Seconde Solution. — Prenons maintenant les deux termes extrêmes $a+cx^{n},$ et cette combinaison nous donnera immédiatementtoutes les n racines de l’équation proposée.

Pour cela, on mettra l’équation sous cette forme

${\frac {a}{c}}+x^{n}-{\frac {bx}{c}}=0,$

et l’on fera ensuite $x^{n}=t,$ et par conséquent $x=t^{\frac {1}{n}},$ pour avoir celle-ci

${\frac {a}{c}}+t-{\frac {bt^{\frac {1}{n}}}{c}}=0.$

Cette équation pouvant se rapporter à l’équation primitive

$a-bx+cx^{n}=0,$

on pourra déduire aisément la valeur de $t^{m}$ de celle de $x_{1}^{m}$ trouvée ci-dessus, en changeant seulement $x,$ en $t,$ $b$ en $-c,$ $c$ en $-b,$ et $n$ en ${\frac {1}{n}}.$ Ainsi l’on aura sur-le-champ

$t^{m}={\frac {a^{m}}{(-c)^{m}}}\left[1-{\frac {mba^{\frac {1-n}{n}}}{(-c)^{\frac {1}{n}}}}+{\frac {m\left(m+{\cfrac {2-n}{n}}\right)b^{2}a^{\frac {2-2n}{n}}}{2(-c)^{\frac {2}{n}}}}\right.$

$\left.-{\frac {m\left(m+{\cfrac {3-n}{n}}\right)\left(m+{\cfrac {3-2n}{n}}\right)b^{3}a^{\frac {3-3n}{n}}}{2.3.(-c)^{\frac {3}{n}}}}+\ldots \right].$