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ou bien simplement

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0$

[à cause que la constante peut être censée renfermée dans la fonction $f(\alpha )$ ], laquelle servira à trouver la valeur de la fonction $u\,;$ et il est clair que cette valeur de $u$ sera complète, puisqu’elle contiendra une fonction arbitraire.

7. On voit donc aussi par là que toute équation de la forme

${\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}-p{\frac {dq}{du}}+q{\frac {dp}{du}}=0,$

où $q$ est supposée une fonction quelconque donnée de $u,x,y,p,$ est telle, que si l’on connaît seulement une valeur particulière de $p,$ mais qui renferme une constante arbitraire $\alpha ,$ on pourra toujours trouver la valeur complète de $p\,;$ car il n’y aura qu’à tirer la valeur de $\alpha$ de l’équation

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=f'(\alpha )$

et la substituer ensuite dans la valeur particulière et connue de $p.$

8. Pour montrer maintenant l’application du Théorème précédent, nous allons parcourir les principaux cas dans lesquels l’équation de condition est facile à remplir par le moyen d’une valeur particulière de $p$ qui se présente naturellement, et nous en verrons naître les solutions de la plupart des Problèmes de ce genre qui n’ont été résolus jusqu’ici que par des méthodes particulières.

Premier Cas. — Lorsque $q$ est une fonction de $p$ seul.

Soit $\mathrm {P}$ une fonction quelconque de $p,$ et supposons qu’on ait

$q=\mathrm {P} ,$

l’équation de condition (6) deviendra, en faisant $d\mathrm {P} =\mathrm {P} 'dp,$

${\frac {dp}{dy}}-\mathrm {P} '{\frac {dp}{dx}}-\mathrm {P} 'p{\frac {dp}{du}}+\mathrm {P} {\frac {dp}{du}}=0,$