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complète de $\mathrm {N}$ ne sera plus simplement

$\mathrm {M} (du-pdx-qdy),$

mais

$\mathrm {M} (du-pdx-qdy)+{\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha \,;$

de sorte qu’on aura, dans l’hypothèse de la variabilité de $\alpha ,$

$\mathrm {N} =\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)+\int {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha ,$

et par conséquent

$\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)=\mathrm {N} -\int {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha .$

Donc, si pour satisfaire aux conditions du Problème on veut que la différentielle

$\mathrm {M} (du-pdx-qdy)$

soit intégrable d’elle-même, il faudra que la différentielle ${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha$ le soit aussi en particulier ; ce qui ne saurait évidemment avoir lieu, à moins que ${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}$ ne soit une fonction quelconque de $\alpha .$

Que $f(\alpha )$ dénote donc une fonction quelconque de $\alpha ,$ et supposant $f'(\alpha )={\frac {df(\alpha )}{d\alpha }},$ on fera

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=f'(\alpha ),$

équation par laquelle on pourra déterminer $\alpha .$ Ensuite on aura

$\int {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha =f(\alpha )\,;$

donc

$\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)=\mathrm {N} -f(\alpha )\,;$

de là on aura l’équation intégrale

$\mathrm {N} -f(\alpha )=\mathrm {une\ const} .,$