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l’équation de condition

${\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}-p{\frac {dq}{du}}+q{\frac {dp}{du}}=0,$

laquelle est connue depuis longtemps ; car, dès que cette condition sera remplie, on pourra toujours trouver le multiplicateur $\mathrm {M} ,$ qui rendra intégrable l’équation

$du-pdx-qdy=0,$

et l’intégration donnera ensuite la valeur cherchée de $u$ en $x$ et $y.$

Si la valeur de $p,$ qui satisfait à l’équation de condition, a toute la généralité que cette équation comporte, on aura par son moyen la valeur complète de $u\,;$ mais si la valeur de $p$ n’est que particulière, on ne trouvera d’abord qu’une valeur particulière et incomplète de la fonction cherchée $u\,;$ cependant si la valeur particulière de $p$ est telle, qu’elle renferme une constante arbitraire, on pourra compléter la valeur de $u$ de la manière suivante.. On cherchera d’abord, d’après cette valeur particulière de $p,$ le multiplicateur $\mathrm {M} ,$ qui rendra intégrable la différentielle

$du-pdx-qdy,$

et l’on aura, en intégrant, l’équation

$\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)=\mathrm {une\ const} .$

Désignons, pour plus de simplicité, par $\mathrm {N}$ la quantité

$\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy),$

qui sera nécessairement une fonction finie de $u,x$ et $y\,;$ soit de plus $\alpha$ la constante arbitraire qui entre dans la valeur de $p,$ et il est clair que cette constante entrera aussi comme telle dans l’expression de $\mathrm {N} \,;$ supposons maintenant que cette même quantité $\alpha ,$ au lieu d’être constante, soit aussi une fonction variable, et il est visible que dans ce cas la différentielle