par l’introduction de la variable
la quantité
s’en ira en même temps, de sorte qu’on aura alors l’équation à deux variables
![{\displaystyle \mathrm {P} du-dt=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8153c6cd3ff6fd41f2ebf370efb6df87a52490)
Soit donc
la fonction de
et de
par laquelle il faudra multiplier maintenant la différentielle
![{\displaystyle \mathrm {P} du-dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f954feb40343913e745343a4b83ebe12d950a5)
pour la rendre intégrable (fonction qu’on pourra toujours trouver par l’intégration de l’équation
), et comme
![{\displaystyle \mathrm {L} '(\mathrm {P} du-dt)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3eade6b7dceb82ee41fc44b3ec44405bb146a7)
sera une différentielle exacte d’une fonction de
et
si l’on remet à la place de
sa valeur en
et
ce qui, à cause de
![{\displaystyle dt=\mathrm {L} pdx+\mathrm {L} qdy+{\frac {dt}{du}}du,\quad \mathrm {P} =\mathrm {L} +{\frac {dt}{du}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241eaa4dd3d20235836ed271cdb5972c573f8d81)
transforme la différentielle dont il s’agit en celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {L} '(\mathrm {L} du-\mathrm {L} pdx-\mathrm {L} qdy),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee5e31e5524c251ee437db6402f3109c30a223a)
il est évidént que cette dernière différentielle sera pareillement une différentielle exacte d’une fonction de
et
d’où il s’ensuit que
sera le facteur propre à rendre intégrable la différentielle
![{\displaystyle du-pdx-qdy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc52aa54770fa4395ea21dca2fed8159faca013)
et qu’ainsi l’on aura (2)
![{\displaystyle \mathrm {M=L'L} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6fbc37e9938b8e52a61701e123bf1e8e55d382a)
de sorte que connaissant
et
on connaitra sur-le-champ le facteur
et de là par l’intégration on pourra connaître la valeur de la fonction finie
![{\displaystyle \int \mathrm {M} (du-pdx-qdy).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67644a76c50d82cdbcfdefab9529ef80c5542b37)
6. On voit donc clairement par l’analyse précédente que la solution du Problème ne dépend que de la recherche de la quantité
à l’aide de