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mais on a déjà

${\frac {dt}{dx}}=\mathrm {L} p,\quad {\frac {dt}{dy}}=\mathrm {L} q\,;$

donc on aura

${\frac {d^{2}t}{dxdu}}={\frac {d(\mathrm {L} p)}{du}}=\mathrm {L} {\frac {dp}{du}}+p{\frac {d\mathrm {L} }{du}},\quad {\frac {d^{2}t}{dydu}}={\frac {d(\mathrm {L} q)}{du}}=\mathrm {L} {\frac {dq}{du}}+q{\frac {d\mathrm {L} }{du}}\,;$

donc l’équation précédente deviendra

${\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+\mathrm {L} {\frac {dq}{du}}+q{\frac {d\mathrm {L} }{du}}-{\frac {q}{p}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+\mathrm {L} {\frac {dp}{du}}+p{\frac {d\mathrm {L} }{du}}\right)=0,$

savoir, en ôtant ce qui se détruit,

${\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+\mathrm {L} {\frac {dq}{du}}-{\frac {q}{p}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+\mathrm {L} {\frac {dp}{du}}\right)=0.$

De plus les mêmes équations

${\frac {dt}{dx}}=\mathrm {L} p,\quad {\frac {dt}{dy}}=\mathrm {L} q$

donnent

${\frac {d(\mathrm {L} p)}{dy}}={\frac {d(\mathrm {L} q)}{dx}},$

savoir

$p{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+\mathrm {L} {\frac {dp}{dy}}-q{\frac {d\mathrm {L} }{dx}}-\mathrm {L} {\frac {dq}{dx}}=0\,;$

donc, retranchant de cette équation la précédente multipliée par $p,$ et divisant le reste par $\mathrm {L} ,$ on aura celle-ci

${\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}-p{\frac {dq}{du}}+q{\frac {dp}{du}}=0,$

qui est, comme on voit, la même qu’on a trouvée plus haut.

5. Ainsi, dès qu’on aura satisfait à l’équation précédente par le moyen de la valeur de $p,$ on sera assuré qu’en chassant $x$ de la quantité

$\mathrm {P=L} +{\frac {dt}{du}},$