qui devra donc être intégrable. Or comme
est une fonction connue de
on aura réciproquement
égale à une fonction connue de
de sorte qu’on pourra introduire la variable
à la place de la variable
qu’on fasse donc cette substitution dans la quantité
et comme l’équation ne contient que les deux différentielles
et
il est clair qu’elle ne pourra être intégrable à moins que la variable
ne disparaisse entièrement de la quantité
Supposons, pour abréger, cette quantité égale à
et il faudra qu’en substituant dans
à la place de
sa valeur en
et
la variable
s’en aille en même temps que
donc aussi si, dans la différentielle
![{\displaystyle d\mathrm {P} ={\frac {d\mathrm {P} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+{\frac {d\mathrm {P} }{du}}du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b3fc7c5cd4d8e2da0c447d1d4b08319e0542d3)
on substitue pour
sa valeur tirée de l’équation
![{\displaystyle dt=\mathrm {L} pdx+\mathrm {L} qdy+{\frac {dt}{du}}du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5169dd25087e63b886c6764c27754c040dfcff)
il faudra que la différentielle
disparaisse ; mais, la substitution faite, on a
![{\displaystyle d\mathrm {P} ={\frac {d\mathrm {P} }{dx}}{\frac {dt-\mathrm {L} qdy-{\dfrac {dt}{du}}du}{\mathrm {L} p}}+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+{\frac {d\mathrm {P} }{du}}du\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5ab8c89da3feaa532c55c4c70b696844443ad0)
savoir
![{\displaystyle d\mathrm {P} ={\frac {d\mathrm {P} }{dx}}{\frac {dt}{\mathrm {L} p}}+\left({\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-{\frac {q}{p}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)dy+\left({\frac {d\mathrm {P} }{du}}-{\frac {dt}{du}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}{\frac {1}{\mathrm {L} p}}\right)du\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee45e070c45c5f32cf2517b279ef4661db8ac4d)
donc il faudra qu’on ait
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-{\frac {q}{p}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46b2434813b28032f27c5780fd1b12f366c4d4b)
Or
![{\displaystyle \mathrm {P=L} +{\frac {dt}{du}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae731fd40ef9c49f2cf052488f3adccc3bb856a6)
donc on aura cette équation de condition
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+{\frac {d^{2}t}{dudy}}-{\frac {q}{p}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+{\frac {d^{2}t}{dudx}}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e3d65fea33f80a31604d5fccefb38308271329)