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sera une équation à différences partielles du premier ordre ; et c’est sur l’intégration de ce genre d’équations que je me propose ici de donner quelques nouveaux principes.

2. Supposons que $u$ soit une fonction de $x$ et de $y$ seulement, et que l’on ait pour la détermination de cette fonction une équation en $u,x,y,$ ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}}\,;$ si l’on fait pour plus de commodité ${\frac {du}{dx}}=p,{\frac {du}{dy}}=q,$ on aura

$du=pdx+qdy,$

et l’équation donnée sera entre les cinq variables $u,x,y,p,q\,;$ en sorte qu’on pourra par cette équation déterminer, par exemple, $q$ en $u,x,y,p\,;$ la quantité $p$ sera donc encore indéterminée, et la question se réduira à la déterminer de façon que l’équation

$du=pdx+qdy,\quad {\text{ou bien}}\quad du-pdx-qdy=0$

soit intégrable, ou d’elle-même, ou étant multipliée par un facteur quelconque.

Soit en général. $\mathrm {M}$ le facteur que la différentiation aura pu faire disparaître, en sorte que la quantité

$\mathrm {M} (du-pdx-qdy)$

soit une différentielle exacte d’une fonction de $u,x,y$ que nous désignerons par $\mathrm {N} \,;$ on aura donc

$d\mathrm {N} ={\frac {d\mathrm {N} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {N} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {N} }{dy}}dy=\mathrm {M} du-\mathrm {M} pdx-\mathrm {M} qdy,$

et de là

${\frac {d\mathrm {N} }{du}}=\mathrm {M} ,\quad {\frac {d\mathrm {N} }{dx}}=-\mathrm {M} p,\quad {\frac {d\mathrm {N} }{dy}}=-\mathrm {M} q\,;$

d’où l’on tire les conditions suivantes

${\frac {d\mathrm {M} }{dx}}=-{\frac {d(\mathrm {M} p)}{du}},\quad {\frac {d\mathrm {M} }{dy}}=-{\frac {d(\mathrm {M} q)}{du}},\quad -{\frac {d\mathrm {M} p}{dy}}=-{\frac {d(\mathrm {M} q)}{dx}}.$

par lesquelles il faudrait déterminer $\mathrm {M}$ et $p.$ La dernière de ces équations