séries trouvées dans les différents Exemples du § II ne représentent que les premières racines des équations proposées, puisque toutes ces séries ont été trouvées par la combinaison des deux premiers termes des mêmes équations ; ainsi, pour trouver les autres racines, il n’y aura qu’à combiner le second terme, ou immédiatement avec le dernier, ou avec quelqu’un des intermédiaires, et ensuite celui-ci avec le dernier, comme nous l’avons expliqué dans le numéro cité.
35. On demande toutes les racines de l’équation
étant un nombre entier positif.
Première Solution. — En combinant d’abord les deux premiers termes de cette équation,
on trouvera pour la même série que nous avons déjà trouvée dans l’Exemple II du no 12 ; cette valeur de sera donc la première racine de l’équation proposée (numéro précédent) que nous nommerons ainsi l’on aura, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}&\left[1+{\frac {mca^{n-1}}{b^{n}}}+{\frac {m(m+2n-1)c^{2}a^{2n-2}}{2b^{2n}}}\right.\\&\quad +\left.{\frac {m(m+3n-1)(m+3n-2)c^{3}a^{3n-3}}{2.3.b^{3n}}}+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5e5570387ea1b3da4d155c559278ad476a94ae)
Pour trouver maintenant les autres racines de la même équation, il faudra combiner les deux termes c’est pourquoi nous mettrons d’abord (29) l’équation sous cette forme
