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zéro jusqu’à la valeur du rapport dont il s’agit, il est clair qu’on s’écartera encore moins de la vérité si, au lieu de négliger tout à fait cette quantité, on lui donne une valeur constante et moyenne entre la plus grande et la plus petite ; et l’on aura d’autant moins d’erreur à craindre de cette hypothèse que l’on n’a besoin que d’avoir la valeur totale de l’intégrale. Soit donc $\alpha$ cette valeur moyenne de ${\frac {x}{r}}$ que nous traiterons comme constante, et l’on aura

$d\rho ={\frac {\sin \mathrm {Z} du}{1+\alpha }}:{\sqrt {1-{\frac {u^{2}\sin ^{2}\mathrm {Z} }{(1+\alpha )^{2}}}}},$

dont l’intégrale est

$\rho +k=\operatorname {arc} \,\sin {\frac {u\sin \mathrm {Z} }{1+\alpha }},$

$k$ étant une constante arbitraire ; c’est-à-dire

$\sin(\rho +k)={\frac {u\sin \mathrm {Z} }{1+\alpha }}={\frac {\sin \mathrm {Z} }{1+\alpha }}{\frac {e^{\frac {\lambda b\log 10}{1+{\frac {c}{215}}}}}{e^{\frac {\lambda y\log 10}{1+{\frac {t}{215}}}}}}\,;$

or, comme en faisant $\rho =0$ on doit avoir $u=1,$ on aura

$\sin k={\frac {\sin \mathrm {Z} }{1+\alpha }}\,;$

de plus il est clair que pour avoir la valeur totale de la réfraction $\rho$ il faut faire $y=0,$ puisqu’au haut de l’atmosphère la hauteur du baromètre doit être nulle ; ainsi l’on aura

$\sin(\rho +k)={\frac {\sin \mathrm {Z} }{1+\alpha }}e^{\frac {\lambda b\log 10}{1+{\frac {c}{215}}}}={\frac {\sin \mathrm {Z} }{1+\alpha }}10^{\frac {\lambda b}{1+{\frac {c}{215}}}},$

et de là

$\rho =\operatorname {arc} \,\sin \left({\frac {\sin \mathrm {Z} }{1+\alpha }}10^{\frac {\lambda b}{1+{\frac {c}{215}}}}\right)-\operatorname {arc} \,\sin {\frac {\sin \mathrm {Z} }{1+\alpha }},$

où $p$ exprime donc la réfraction qui a lieu pour un astre dont la distance apparente au zénith est $\mathrm {Z} ,$ $b$ étant la hauteur du baromètre en lignes,