que
cette équation donne
![{\displaystyle {\frac {dx}{x-a}}={\frac {\left(1+{\dfrac {t}{215}}\right)dt}{(t-c)\left(1+{\dfrac {c+t}{2.215}}\right)}}={\frac {dt}{t-c}}+{\frac {1}{2.215}}{\frac {dt}{1+{\dfrac {c+t}{2.215}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bf0d33cc167adc20e9187206af3b3e9802bc82)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle \log(x-a)=\log(t-c)+\log \left(1+{\dfrac {c+t}{2.215}}\right)+\log k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f417ef5d9270f02e0b0775e4db061d57c3939a5)
étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire
![{\displaystyle x-a=k(t-c)\left(1+{\dfrac {c+t}{2.215}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e436cd1d8d1959544451b823034424fd52a0ff)
et comme en faisant
on a déjà
il est clair que la constante
demeure à volonté.
Si l’on néglige le terme
vis-à-vis de l’unité, on a
![{\displaystyle t-c={\frac {x-a}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5a2544445f9e90c921bdc4941ca1718e177fc5)
c’est-à-dire que les différences de chaleur sont proportionnelles aux différences de hauteur, en sorte que les hauteurs étant prises en progression arithmétique, les degrés de chaleur le seront aussi ; mais on voit par notre formule que cette loi, qui est celle de M. de Luc, n’est vraie que par approximation.
7. Si l’on voulait trouver une relation entre
et
il n’y aurait qu’à faire pour plus de simplicité
et
pour avoir d’un côté
![{\displaystyle f-z={\frac {(x-a)\log 10}{1+{\dfrac {c+t}{2.215}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c8c274d0d1b7beadc6c9e7d1935e277684bced)
et de l’autre
![{\displaystyle -dz={\frac {dx\log 10}{1+{\dfrac {t}{215}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817dddde3d814f24bfd6ddcc24268cf11eed135e)