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biner le premier terme de cette équation avec le dernier, ou immédiatement ce qui donnera une série qui renfermera toutes les racines, ou moyennant les termes intermédiaires, c’est-à-dire en combinant d’abord le premier terme avec quelqu’un des suivants, ensuite celui-ci avec le dernier, ou avec quelqu’un de ceux qui le précèdent, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on arrive au dernier terme [par cette expression de combiner deux termes de l’équation proposée, nous entendons qu’il faut prendre ces deux termes pour les deux premiers de notre formule générale (H) ; nous nous servirons aussi dans la suite de cette même expression abrégée]. Chacune de ces combinaisons donnera une série simple, ou double, ou triple, etc., qui représentera par conséquent une, ou deux, ou trois, etc., racines, suivant l’intervalle qu’il y aura entre les deux termes ; de sorte que, quels que soient les termes que l’on comparera successivement ensemble, on obtiendra toujours autant de racines ni plus ni moins que l’équation en doit avoir.

33. Il est bon de remarquer que les séries qu’on trouvera en combinant deux termes quelconques de l’équation proposée auront autant de valeurs réelles et autant d’imaginaires qu’il y aura de racines réelles et d’imaginaires dans l’équation qu’on pourra faire en égalant ces deux termes à zéro (30) ; de plus, il est clair que l’on ne trouvera de séries toutes rationnelles que lorsqu’on combinera des termes tels que

$\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +1}\,;$

ainsi, si l’équation a tous ses termes, on pourra, en combinant chaque terme avec celui qui le suit immédiatement, trouver des séries toutes rationnelles pour l’expression de chacune de ses racines ; mais s’il manque quelque terme dans l’équation, comme si l’on suppose que le terme $\mathrm {M} x^{\mu }$ soit suivi immédiatement du terme $-\mathrm {N} x^{\mu +\nu },$ en sorte qu’il manque $\nu -1$ termes intermédiaires, alors la combinaison de ces deux termes consécutifs donnera une série qui renfermera le radical

${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }},$