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et faisant

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} \ \,=&{\frac {\alpha +\mu }{2}},\qquad &\mathrm {N} \ \,=&{\frac {\beta +\nu }{2}},\\\mathrm {M} '=&{\frac {\alpha -\mu }{2}},&\mathrm {N} '=&{\frac {\beta -\nu }{2}},\end{alignedat}}$

on aura

${\begin{array}{ll}\alpha =\mathrm {A} ,&\alpha ^{2}-\mu ^{2}+4\beta =4\mathrm {B} ,\\\alpha \beta -\mu \nu =2\mathrm {C} ,&\beta ^{2}-\nu ^{2}=4\mathrm {D} ,\end{array}}$

d’où l’on tire d’abord

$\alpha =\mathrm {A} ,\quad \beta =\mathrm {\frac {4B-A^{2}+\mu ^{2}}{4}} \,;$

substituant ensuite ces valeurs dans les deux dernières équations, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {A\mu ^{2}-4\mu \nu -A^{3}+4AB-8C} =0,\\&\mu ^{4}+2\mathrm {\left(4B-A^{2}\right)\mu ^{2}-16\nu ^{2}+\left(4B-A^{2}\right)^{2}-64D} =0.\end{aligned}}$

On fera maintenant

$u=a\mu +b\nu ,$

et substituant, par exemple, ${\frac {u-a\mu }{b}}$ à la place de $\nu ,$ on aura ces deux équations-ci

${\begin{aligned}&\left(\mathrm {A} -{\frac {4a}{b}}\right)\mu ^{2}-{\frac {4\mu u}{b}}-\mathrm {A^{3}+4AB-8C} =0,\\&\mu ^{4}+\left(\mathrm {8B-2A^{2}} -{\frac {16a^{2}}{b^{2}}}\right)\mu ^{2}+{\frac {32a\mu u}{b^{2}}}-{\frac {16u^{2}}{b^{2}}}+\mathrm {\left(4B-A^{2}\right)^{2}-64D} =0\,;\end{aligned}}$

d’où lon chassera $\mu$ pour avoir une réduite en $u.$

Supposons, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {\left(A^{3}+4AB-8C\right)=F} ,\\&\mathrm {\left(4B-A^{2}\right)^{2}-64D=G} ,\\&b\mathrm {A} -4a=f,\\&8b^{2}\mathrm {B} -2b^{2}\mathrm {A} ^{2}-16a^{2}=g,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}&f\mu ^{2}-4\mu u-b\mathrm {F} =0,\\&b^{2}\mu ^{4}+g\mu ^{2}+32a\mu u-16u^{2}+b^{2}\mathrm {G} =0\,;\end{aligned}}$