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élevée au carré ; par conséquent la proposée s’abaissera d’elle-même à un degré moindre de la moitié, et il est visible que les valeurs des coefticients $\mathrm {M,N,P} ,\ldots$ devront être toutes rationnelles, et par conséquent réelles, autrement il serait impossible que l’équation

$x^{n}-\mathrm {M} x^{n-1}+\mathrm {N} x^{n-2}-\mathrm {P} x^{n-3}+\ldots =0,$

étant élevée au carré, devînt rationnelle et comparable à la proposée

$x^{2n}-\mathrm {A} x^{2n-1}+\mathrm {B} x^{2n-2}-\mathrm {C} x^{2n-3}+\ldots =0.$

D’ailleurs il est facile de prouver que les conditions

$\mu =0,\quad \nu =0,\quad \varpi =0,\ldots$

emportent nécessairement l’égalité entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(n)}$ et les racines $x^{(n+1)},x^{(n+2)},x^{(n+3)},\ldots ,x^{(2n)},$ en sorte que la proposée du degré $m=2n$ aura toutes ses racines égales deux à deux, et pourra par conséquent s’abaisser à une équation du degré $n$ qui aura les mêmes racines, mais simples et inégales.

Ainsi toutes les difficultés sont résolues, et il ne reste plus rien à désirer pour la démonstration complète du Théorème qui fait l’objet de ce Mémoire. Nous allons le terminer par donner un Exemple de l’application de la méthode qu’on vient d’expliquer.

31. Soit, comme dans le n^o 6, l’équation générale du quatrième degré

$x^{4}-\mathrm {A} x^{3}+\mathrm {B} x^{2}-\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0$

qu’on se propose de décomposer en ces deux-ci

$x^{2}-\mathrm {M} x+\mathrm {N} =0,\quad x^{2}-\mathrm {M} 'x+\mathrm {N} '=0\,;$

en comparant terme à terme le produit de ces dernières avec celle-là, on aura d’abord

$\mathrm {M+M'=A,\quad MM'+N+N'=B,\quad MN'+M'N=C,\quad NN'=D} \,;$