Dans le premier cas, puisque l’équation en est d’un degré impair (29, 2o), on pourra démontrer, comme on l’a fait plus haut (24), que cette équation ne pourra avoir que des racines égales d’un degré d’égalité marqué par des nombres impairs ; d’où l’on conclura sur-le-champ que, quelles que soient les racines de l’équation en pourvu qu’aucune ne soit nulle, on aura toujours, non-seulement pour mais aussi pour des valeurs réelles ; de sorte que les coefficients des deux facteurs de l’équation proposée auront sûrement des valeurs réelles (27).
Le second cas, c’est-à-dire celui où l’équation en aurait quelque racine nulle, présente d’abord les mêmes difficultés qu’on a déjà considérées dans le no 25 ; mais je remarque qu’à cause de
où les coefficients sont à volonté, on peut toujours prendre ces coefficients tels, que le cas dont il s’agit n’ait pas lieu, à moins que parmi les valeurs correspondantes de il ne s’en trouve qui soient nulles à la fois. Car supposons que les valeurs de ne soient jamais nulles en même temps, en ce cas il est visible que si la quantité a des valeurs nulles, ce ne pourra être qu’en vertu de la relation qui se trouvera entre les coefficients par conséquent ces valeurs cesseront d’être nulles dès qu’on donnera d’autres valeurs aux mêmes coefficients ainsi l’on sera toujours le maître de faire en sorte que l’équation en n’ait aucune racine nulle.
Il ne reste donc plus de difficulté que pour le cas où l’on aurait à la fois
mais il est visible (27) qu’on aura alors
de sorte que dans ce cas l’équation proposée ne sera autre chose que celle-ci
