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que le nombre de toutes les permutations possibles sera représenté par

$1.2.3.4\ldots 2n\,;$

mais il est visible que les fonctions $\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots$ ne changent point de forme en faisant toutes les permutations possibles entre les $n$ quantités $x',x'',x''',$$\ldots ,x^{(n)},$ permutations dont le nombre est exprimé par $1.2.3\ldots n,$ et qu’il en est de même à l’égard des permutations entre les autres $n$ quantités $x^{(n+1)},x^{(n+2)},x^{(n+3)},\ldots ,x^{(2n)}\,;$ donc, puisque chacune de ces permutations se combine avec toutes les autres dans le nombre total des combinaisons $1.2.3\ldots 2n,$ il s’ensuit que pour avoir le nombre des combinaisons utiles, c’est-à-dire qui donnent des expressions différentes de $u,$ il faudra diviser deux fois le nombre $1.2.3\ldots 2n$ par le nomhre $1.2.3\ldots n,$ ce qui donnera celui-ci

${\frac {1.2.3\ldots 2n}{1.2.3\ldots n}}\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {2n(2n-1)(2n-2)\ldots (n+1)}{n(n-1)(n-2)\ldots 1}},$

nombre qui, en supposant $m=2^{r}$ et par conséquent $n=a^{2r-1},$ sera impairement pair, comme nous l’avons vu dans le n^o  16.

2^o Il est clair que si l’on échange à la fois les quantités $x',x'',x''',\ldots ,x^{(n)}$ en $x^{(n+1)},x^{(n+2)},x^{(n+3)},\ldots ,x^{(2n)},$ dans les expressions de $\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ ces expressions changeront simplement de signes sans changer de valeur ; donc toutes les valeurs particulières de la fonction $u$ seront deux à deux égales et de signes contraires ; de sorte que l’équation en $u,$ dont le degré doit être impairement pair, manquera de toutes les puissances impaires, et pourra se transformer par la supposition de $u^{2}=t$ en une équation en $t$ d’un degré impair.

3^o On peut démontrer, par un raisonnement analogue à celui des n^os 22 et 23, que le dernier terme de la transformée en $t$ dont nous parlons sera toujours négatif, étant nécessairement égal au carré d’une fonction rationnelle des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de l’équation proposée, affecté du signe $-.$ Car il est d’abord clair que si l’on supposait simplement $u=\mu ,$ on aurait le cas des numéros cités, puisque les lettres $a,b,c,d,\ldots$ dans les formules de ces numéros désignent les mêmes quantités