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on prendra, dans ce cas, pour $t$ la racine positive de l’équation

$t^{2}\mathrm {\left(3A^{2}-8B\right)} t-p=0,$

et l’on aura (6)

$\mathrm {M} ={\frac {\mathrm {A} \pm {\sqrt {t}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {N={\frac {C-BM+AM^{2}-M^{3}}{A-2M}}} .$

27. Mais, pour pouvoir résoudre la difficulté dont il s’agit d’une manière générale et applicable aux équations de tous les degrés, il faut employer d’autres principes.

Reprenons pour cet effet l’équation proposée

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,$

où $m=2^{r},$ et considérons les deux facteurs

${\begin{aligned}&x^{n}-\mathrm {M} \ x^{n-1}+\mathrm {N} \ x^{n-2}-\mathrm {P} \ x^{n-3}+\ldots +=0,\\&x^{n}-\mathrm {M} 'x^{n-1}+\mathrm {N} 'x^{n-2}-\mathrm {P} 'x^{n-3}+\ldots +=0,\end{aligned}}$

dont on suppose qu’elle soit formée, $n$ étant égal à $2^{r-1}={\frac {m}{2}}\,;$ qu’on fasse, ce qui est permis,

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&{\frac {\alpha +\mu }{2}},\qquad &\mathrm {M} '=&{\frac {\alpha -\mu }{2}},\\\mathrm {N} =&{\frac {\beta +\nu }{2}},&\mathrm {N} '=&{\frac {\beta -\nu }{2}},\\\mathrm {P} =&{\frac {\gamma +\varpi }{2}},&\mathrm {P} '=&{\frac {\gamma -\varpi }{2}},\\\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

c’est-à-dire qu’on introduise à la place des coefficients indéterminés $\mathrm {M,M'} ,$$\mathrm {N,N',P,P'} ,\ldots ,$ leurs sommes

$\mathrm {M+M'=\alpha ,\quad N+N'=\beta ,\quad P+P'} =\gamma ,\ldots$

et leurs différences

$\mathrm {M-M'=\mu ,\quad N-N'=\nu ,\quad P-P'} =\varpi ,\ldots$

et l’on trouvera (3) $m,$ ou $2n$ équations entre les $m$ indéterminées $\alpha ,\beta ,\gamma ,$$\ldots ,\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ par lesquelles on pourra déterminer chacune de ces inconnues.