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Pour avoir donc des facteurs tout réels il faudra dans ce cas chercher une autre valeur de $t\,;$ or l’équation en $t$ étant toute divisée par $t$ devient

$t^{2}-\mathrm {\left(3A^{2}-8B\right)} t+\mathrm {3A^{4}-16A^{2}B+16B^{2}+16AC-64D} =0,$

ou bien, en substituant a la place de $\mathrm {C}$ sa valeur $\mathrm {\frac {-A^{3}+4AB}{8}} ,$

$t^{2}-\mathrm {\left(3A^{2}-8B\right)} t+\mathrm {\left(A^{2}-4B\right)^{2}-64D} =0,$

dans laquelle on voit que le dernier terme sera positif si

$\mathrm {\left(A^{2}-4B\right)^{2}>64D} \,;$

de sorte qu’on ne peut pas être assuré, en générale, que cette équation aura des racines réelles, à moins que l’on ne considère la condition qui est particulière aux équations du second degré.

26. Cependant si l’on observe que la condition

$\mathrm {\left(A^{2}-4B\right)^{2}>64D}$

est celle qui rend réelles les racines de l’équation en $\mathrm {N}$ ci-dessus, et que la condition opposée

$\mathrm {\left(A^{2}-4B\right)^{2}<64D}$

est celle qui rend le dernier terme de l’équation précédente en $t,$ négatif, on en pourra conclure d’abord qu’il est toujours possible d’avoir pour les coefficients $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ des valeurs réelles.

En effet

1^o Soit

$\mathrm {\left(A^{2}-4B\right)^{2}-64D} =p$

($p$ désignant une quantité positive), on prendra dans ce cas la racine $t=0,$ laquelle donnera

$\mathrm {M={\frac {A}{2}}} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {N=-{\frac {A^{2}}{8}}+{\frac {B}{2}}} \pm {\frac {\sqrt {p}}{8}}.$

2^o Soit

$\mathrm {64D-\left(A^{2}-4B\right)^{2}} =p,$