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de l’équation générale du quatrième degré

$x^{4}-\mathrm {A} x^{3}+\mathrm {B} x^{2}-\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0.$

En substituant l’expression de $\mathrm {N}$ en $\mathrm {M} ,$ et faisant ensuite

$\mathrm {M} ={\frac {\mathrm {A} +u}{2}}={\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {t}}}{2}},$

on trouve cette réduite en $t$

$t^{3}-\mathrm {\left(3A^{2}-8B\right)} t^{2}+\mathrm {\left(3A^{4}-16A^{2}B+16B^{2}+16AC-64D\right)} t$

$-\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ^{2}=0,$

laquelle a, comme on voit, son dernier terme toujours négatif.

Maintenant, si l’on a

$\mathrm {A^{3}-4AB+8C} =0,$

il est clair que l’équation précédente aura d’abord la racine $t=0,$ laquelle donnant $\mathrm {M={\frac {A}{2}}}$ on tombera dans le cas que l’on a déjà examiné dans le numéro cité, et où l’autre coefficient $\mathrm {N}$ du diviseur

$x^{2}-\mathrm {M} x+\mathrm {N} =0$

dépendra d’une équation du second degré qui n’aura de racines réelles que tant $4\mathrm {D}$ ne surpassera pas $\mathrm {\left({\frac {A^{2}}{4}}-B\right)} ^{2}\,;$ de sorte que dans le cas où

$\mathrm {D} >\mathrm {\left({\frac {A^{2}}{8}}-{\frac {B}{2}}\right)} ^{2}$

le coefficient $\mathrm {N}$ sera imaginaire, et l’équation proposée du quatrième degré se trouvera par ce moyen décomposée en deux équations imaginaires du second degré, lesquelles seront

$x^{2}-{\frac {\mathrm {A} }{2}}x+\mathrm {N} '=0,\quad x^{2}-{\frac {\mathrm {A} }{2}}x+\mathrm {N} ''=0,$

$\mathrm {N} '$ et $\mathrm {N} ''$ étant les racines de l’équation

$\mathrm {N^{2}+\left({\frac {A^{2}}{4}}-B\right)N+D} =0.$