il est clair que si toutes ces valeurs de sont inégales, celles de le seront aussi ; de sorte que l’équation en n’aura proprement de racines égales que dans deux cas, l’un où l’équation en en aura elle-même d’égales, l’autre où l’équation en aura une ou plusieurs racines égales à zéro.
Supposons d’abord que l’équation en n’ait aucune racine égale à zéro, mais qu’elle en ait plusieurs égales entre elles ; comme cette équation est d’un degré impair, on prouvera par un raisonnement semblable à celui du no 14 qu’elle aura nécessairement une racine réelle inégale, ou égale d’un ordre d’égalité marqué par un nombre impair ; d’où il est facile de conclure que l’équation en aura aussi nécessairement une pareille racine, et même deux, en sorte que chacun des autres coefficients aura nécessairement une valeur réelle (13).
Ainsi, quelles que soient les racines de l’équation en pourvu qu’aucune d’elles ne soit nulle, on sera assuré que les coefficients du diviseur auront tous des valeurs réelles.
25. Il n’en est pas de même lorsque l’équation en a une racine nulle, ce qui arrive quand son dernier terme se trouve égal à zéro. Dans ce cas il est clair que la racine donnera dans l’équation en deux racines égales à de sorte que chacun des autres coefficient dépendra nécessairement d’une équation du second degré qui pourra n’avoir aucune racine réelle ; il est vrai que l’équation en pourra avoir encore d’autres racines réelles, mais la difficulté consiste à prouver qu’elle en aura toujours de telles. En effet cette équation, étant divisée par ne montera plus qu’à un degré pair ; de sorte qu’il faudrait démontrer, en général, que le dernier terme sera toujours négatif, ce qui d’ailleurs n’est pas vrai.
Pour donner un exemple de l’insuffisance de la méthode précédente dans le cas dont il s’agit, nous reprendrons celui du no 6 où l’on propose de trouver un diviseur du second degré
