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en retrancher en même temps les racines restantes ; moyennant quoi le nombre de ces facteurs sera exprimé, comme il résulte de la théorie des combinaisons, par

${\frac {(2n-1)(2n-2)(2n-3)\ldots (n+1)}{1.2.3\ldots (n-1)}}.$

Ensuite on considérera que, en changeant $a$ en $b,$ quelques-uns de ces facteurs demeurent les mêmes, tandis que les autres se changent entre eux en changeant en même temps de signes ; de sorte que pour savoir le nombre de ces derniers il suffira de retrancher du nombre total celui des facteurs qui demeurent les mêmes en changeant $a$ en $b.$ Or il est visible que ces facteurs-ci se trouveront en ajoutant successivement à la somme $a+b$ les différentes sommes des autres $2n-2$ racines prises $n-2$ à $n-2,$ et retranchant en même temps les racines restantes ; de sorte que le nombre de ces facteurs invariables sera exprimé par

${\frac {(2n-2)(2n-3)\ldots (n+1)}{1.2\ldots (n-2)}}\,;$

donc, retranchant cette quantité de la précédente, on aura

${\frac {(2n-1)(2n-2)(2n-3)\ldots (n+1)}{1.2.3\ldots (n-1)}}-{\frac {(2n-2)(2n-3)\ldots (n+1)}{1.2\ldots (n-2)}},$

ou bien, en réduisant au même dénominateur,

${\frac {(2n-2)(2n-3)(2n-4)\ldots n}{1.2.3\ldots (n-1)}}$

pour l’expression du nombre des facteurs qui s’échangent entre eux en changeant en même temps de signes.

Ainsi la question est de voir si ce nombre sera toujours pair ; or c’est ce qui est évident, car si l’on divise le haut et le bas de la fraction par $n-1,$ elle deviendra

$2.{\frac {(2n-3)(2n-4)(2n-5)\ldots n}{1.2.3\ldots (n-2)}}\,;$