telles, qu’elles renferment toutes les permutations possibles entre les cinq racines puisqu’elles ne sont autre chose que les différéntes valeurs de la quantité
qui résultent de toutes les échanges possibles entre les cinq lettres la lettre étant regardée comme fixe ; d’où il s’ensuit qu’en faisant le produit de ces dix quantités on aura une fonction des racines qui sera telle, qu’elle ne recevra aucun changement par les permutations des cinq racines entre elles ; de sorte qu’il suffira de considérer les résultats des échanges de la racine a dans les cinq autres ; et comme les échanges de celles-ci entre elles ne produisent aucun changement dans la fonction dont il s’agit, il est clair qu’on aura le même résultat, soit qu’on change en ou en ou en ou, etc. ; par conséquent, il suffira de considérer une seule échange comme celle de en et si elle ne fait point varier le produit des dix quantités ci-dessus, on sera assuré que ce produit sera déterminable par une fonction rationnelle des coefficient de l’équation proposée.
Or, en changeant en il est visible que les quatre premières quantités, où les lettres et se trouvent jointes avec le signe demeureront les mêmes, puisque est la même chose que et que les six dernières, où les lettres et ont des signes différents, se changeront l’une dans l’autre en changeant en même temps de signes ; d’où l’on conclura que le produit de toutes ces quantités demeurera nécessairement le même, puisque les facteurs qui changent de signes sont en nombre pair.
23. On considérera maintenant que, pour avoir les dix quantités qui sont les facteurs du produit en question, il n’y a qu’à ajouter successivement à la racine les sommes des autres cinq racines prises deux à deux, et en retrancher en même temps les racines restantes ; d’où il est d’abord facile de conclure que, si le nombre de toutes les racines était il faudrait, pour avoir les facteurs dont il s’agit, ajouter successivement à la racine les sommes des autres racines prises à et
