il se contente ensuite de dire que ce produit est déterminable, comme on sait, par les quantités et qu’il sera par conséquent réel ; mais, pour que cette conséquence soit légitime, il faut prouver qu’on peut déterminer ce produit par une expression rationnelle des mêmes quantités c’est ce que M. Euler n’a point fait, du moins d’une manière directe et à priori.
Il est vrai que le carré
sera toujours une fonction rationnelle des coefficients mais la difficulté consiste précisément a démontrer que sa racine en sera une aussi.
Pour sentir davantage la force de cette objection, il n’y a qu’à considérer, par exemple, la quantité
il est certain que le carré de cette quantité peut s’exprimer par une fonction rationnelle des coefficients mais il n’en est pas ainsi de la quantité elle-même en effet, on trouve pour la valeur du carré dont il s’agit l’expression
laquelle n’est pas un carré en général ; de sorte qu’on ne saurait en conclure que sa racine sera toujours une quantité réelle.
21. Le caractère, auquel on peut reconnaître à priori si une fonction proposée des racines d’une équation quelconque peut se déterminer par une expression rationnelle des coefficients de cette équation, consiste, comme nous l’avons démontré dans notre Mémoire sur les équations, en ce que cette fonction doit être telle, qu’elle ne change point de valeur, quelque permutation qu’on y fasse entre les racines dont elle est composée ainsi il n’y a qu’à voir si cette condition a lieu ou non dans la fonction
