Si l’on joint cette objection à celles que M. d’Alembert a déjà proposées dans le premier volume de ses Opuscules, page 227, on conviendra aisément que la proposition dont il s’agit, sur le degré de l’équation par laquelle chaque coefficient doit être déterminé, ne peut être admise sans une démonstration rigoureuse ; mais nous nous contenterons ici de renvoyer pour cet objet à la Section IV de nos Réflexions sur la résolution des équations citées ci-dessus, où nous avons démontré cette proposition d’une manière qui ne laisse rien à désirer du côté de l’exactitude et de la généralité.
10. La question se réduit donc maintenant à voir si, en supposant que soit un nombre quelconque pair donné, on peut toujours prendre le nombre moindre que et tel, que le nombre
qu’on sait devoir être toujours entier, soit en même temps un nombre impair.
Il est d’abord visible que si est un nombre impairement pair en sorte que étant un nombre impair autre que l’unité, il n’y aura qu’à prendre ce qui donnera la formule
laquelle, à cause de et de impairs, représentera nécessairement un nombre impair. Si en supposant toujours impair, on fera ce qui donnera la formule
laquelle représentera nécessairement un nombre impair, à cause que et sont tous impairs.
On prouvera de même que, si et qu’on prenne on aura une formule qui ne donnera que des nombres impairs, et ainsi de suite
