il faudra qu’elle soit formée du produit de facteurs simples pris parmi les facteurs simples de celle-ci ; de sorte que comme le nombre des manières différentes de prendre choses parmi un nombre de choses égal à est exprimé, suivant la théorie des combinaisons, par la formule
il s’ensuit que l’équation proposée admettra un pareil nombre de diviseurs de la forme
et qu’ainsi chaque coefficient sera susceptible d’autant de valeurs différentes, et par conséquent devra être déterminé par une équation d’un degré marqué par la même formule.
9. Cette proposition est connue depuis longtemps des Géomètres, et l’on a coutume de la prouver par un raisonnement semblable à celui que nous venons de faire ; mais il est facile de voir que cette preuve est sujette à quelques difficultés. Car, quoiqu’il soit démontré qu’une équation du degré peut avoir autant de différents diviseurs du degré qu’il y a de manières de combiner choses à et qu’en même temps il paraisse hors de doute que les coefficients analogues de ces différents diviseurs doivent être donnés par une même équation dont ils seront les racines, cependant il n’est pas évident que cette équation ne pourra avoir d’autres racines, puisqu’il arrive le plus souvent que les équations qu’on trouve pour la solution des Problèmes tant algébriques que géométriques renferment bien des racines inutiles, outre celles qui servent à la résolution cherchée.
C’est pourquoi il semble qu’on ne saurait, à proprement parler, conclure autre chose du raisonnement ci-dessus, sinon que l’équation qui doit donner la valeur de chaque coefficient du diviseur cherché ne peut être d’un degré moindre que celui qu’on a assigné, sans qu’on soit en droit de prononcer qu’elle ne peut pas être non plus d’un degré plus haut.
