On divisera d’abord par
ce qui la réduira à celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {\frac {M}{N}} -x^{\nu }+{\frac {\mathrm {X} x^{-\mu }}{\mathrm {N} }}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927dfcc8cb67beec1b662cda468f7d35d02c352b)
ensuite on fera
et par conséquent
![{\displaystyle x={\sqrt[{\nu }]{t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45af0a61d58695bdda93bb27595daf5ca91deb50)
et désignant par
la fonction de
dans laquelle se changera la quantité
par la substitution de
à la place de
on aura la transformée
![{\displaystyle \mathrm {\frac {M}{N}} -t+{\frac {\mathrm {T} t^{-{\frac {\mu }{\nu }}}}{\mathrm {N} }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5624030c0ccf9c23eca46bc516a68700c749b195)
laquelle rentre évidemment dans la formule générale
![{\displaystyle \alpha -x+\varphi (x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98d3d950d75a75a7d9966ba569796f0a6f650f5)
en faisant
![{\displaystyle \alpha =\mathrm {\frac {M}{N}} ,\quad x=t,\quad \varphi (x)=\varphi (t)={\frac {\mathrm {T} t^{-{\frac {\mu }{\nu }}}}{\mathrm {N} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85d95207ac121118557fee8a1bf180abff3be8a)
On aura donc (16), en mettant
ou
à la place de ![{\displaystyle p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393fcf18074cb42eafb26b76c515a1e93e17512c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi \left(x^{\nu }\right)=&\psi (t)+{\frac {\mathrm {T} t^{-{\frac {\mu }{\nu }}}\psi '(t)}{\mathrm {N} }}+{\frac {1}{2\mathrm {N} ^{2}}}{\frac {d\left[\mathrm {T} ^{2}t^{-{\frac {2\mu }{\nu }}}\psi '(t)\right]}{dt}}\\&+{\frac {1}{2.3.\mathrm {N} ^{3}}}{\frac {d^{2}\left[\mathrm {T} ^{3}t^{-{\frac {3\mu }{\nu }}}\psi '(t)\right]}{dt^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171fa7edc25d46ec6d4d4a6e703745dc05be2170)
où il faudra faire
après avoir exécuté les différentiations indiquées.
Donc, faisant
et par conséquent
![{\displaystyle \psi '(t)={\frac {t^{\frac {1-\nu }{\nu }}}{\nu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd8796c7f233619498fa8292724560ee1c9be3d)