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lesquelles, en y faisant

$\mathrm {M={\frac {A}{2}}} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {C={\frac {AB}{2}}-{\frac {A^{3}}{8}}} ,$

se réduiront à cette équation unique

$\mathrm {N+{\frac {D}{N}}=B-{\frac {A^{2}}{4}}} ,$

savoir

$\mathrm {N^{2}+\left({\frac {A^{2}}{4}}-B\right)N+D} =0,$

laquelle est, comme on voit, du second degré, et donnera par conséquent deux valeurs différentes de $\mathrm {N}$ répondantes à la même valeur de $\mathrm {M={\frac {A}{2}}} .$

D’où l’on voit qu’il ne suffit pas d’être assuré que l’équation en $\mathrm {M}$ a nécessairement une racine réelle, pour pouvoir l’être aussi que le facteur

$x^{2}-\mathrm {M} x+\mathrm {N} =0$

sera réel, puisqu’il peut arriver que le coefficient $\mathrm {N}$ soit imaginaire, ce qui aura lieu dans le cas que nous venons d’examiner si

$\mathrm {\left({\frac {A^{2}}{4}}-B\right)^{2}-4D} <0.$

7. Au reste, il est bon de remarquer que la valeur ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ de $\mathrm {M}$ sera nécessairement une racine double de l’équation en $\mathrm {M} \,;$ c’est de quoi on peut se convaincre à priori par cette considération que, comme les deux facteurs

$x^{2}-\mathrm {M} x+\mathrm {N} =0,\quad x^{2}-\mathrm {M} 'x+\mathrm {N} '=0$

sont semblables, les coefficients correspondants $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ doivent être les racines d’une même équation, ainsi que les coefficients $\mathrm {N}$ et $\mathrm {N} '\,;$ ce qui est d’ailleurs évident par les équations mêmes qui servent à déterminer ces quatre quantités, et qui sont telles, qu’elles demeurent les mêmes en y changeant $\mathrm {M}$ en $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {N}$ en $\mathrm {N} '.$ Ainsi, comme on a trouvé $\mathrm {M'=A-M} ,$ il s’ensuit que l’équation en $\mathrm {M}$ devra être telle, que si $\mathrm {M}$ est une de ses