de l’élimination parvenir à exprimer, par des fonctions rationnelles d’une quelconque de ces indéterminées, les valeurs de toutes les autres ; auquel cas il est clair que les valeurs de celles-ci seront nécessairement réelles dès que la valeur de celle-là sera réelle.
C’est en effet ce que la plupart des Analystes ont toujours supposé, et sur quoi M. Euler et M. le chevalier de Foncenex ont fondé principalement leurs démonstrations du Théorème dont il s’agit. Mais quoique cette proposition soit vraie, en général, il se trouve cependant des cas où elle devient absolument fausse, comme nous l’avons déjà fait voir dans le no 102 de nos Réflexions sur la résolution algébrique des équations[1].
Supposons en effet qu’on soit parvenu par des éliminations réitérées à une équation entre les indéterminées et de la forme
et étant des fonctions rationnelles de on aura donc par là en sorte que sera toujours réelle dès que le sera ; mais s’il arrive que la valeur réelle de soit telle, que les quantités et s’évanouissent à la fois, on aura ce qui ne fera rien connaître ; dans ce cas il sera donc douteux si à la valeur réelle de répond une valeur réelle de ou non ; en effet, l’expression indéterminée qu’on trouve pour est une marque que cette quantité ne peut pas être donnée simplement par une équation du premier degré, mais qu’elle doit dépendre d’une équation d’un degré supérieur, en sorte qu’à la même valeur de puissent répondre différentes valeurs de
6. Pour éclaircir ceci par un Exemple, je suppose qu’on ait l’équation du quatrième degré
et qu’on veuille la décomposer en deux du second degré, représentées par
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. III, p. 381.
