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réelle, si l’on dénote cette racine par $a,$ on aura

$a^{2m+1}-\mathrm {A} a^{2m}+\mathrm {B} a^{2m-1}-\mathrm {C} a^{2m-2}+\ldots -\mathrm {K} =0,$

donc

$\mathrm {K} =a^{2m+1}-\mathrm {A} a^{2m}+\mathrm {B} a^{2m-1}-\mathrm {C} a^{2m-2}+\ldots ,$

ce qui étant substitué dans l’équation précédente, on aura celle-ci

$\left(x^{2m+1}-a^{2m+1}\right)$

$-\mathrm {A} \left(x^{2m}-a^{2m}\right)+\mathrm {B} \left(x^{2m-1}-a^{2m-1}\right)-\mathrm {C} \left(x^{2m-2}-a^{2m-2}\right)+\ldots =0,$

laquelle se décompose naturellenoent en ces deux-ci

$x-a=0,$

$x^{2m}+(a-\mathrm {A} )x^{2m-1}+\left(a^{2}-\mathrm {A} a+\mathrm {B} \right)x^{2m-2}$

$+\left(a^{3}-\mathrm {A} a^{2}+\mathrm {B} a-\mathrm {C} \right)x^{2m-3}+\ldots =0.$

Ainsi il suffira de considérer les équations de degrés pairs.

3. Soit donc proposée l’équation générale

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots +\mathrm {K} =0\,;$

il s’agit de prouver que cette équation, lorsque $m$ est un nombre pair plus grand que $2,$ peut toujours se décomposer en deux autres équations dont les coeificients soient des quantités réelles.

Supposons que

$x^{n}-\mathrm {M} x^{n-1}+\mathrm {N} x^{n-2}-\mathrm {P} x^{n-3}+\ldots +\mathrm {V} =0\,;$

soit un des facteurs de l’équation dont il s’agit ; l’autre facteur sera de la forme

$x^{m-n}-\mathrm {M} 'x^{m-n-1}+\mathrm {N} 'x^{m-n-2}-\mathrm {P} 'x^{m-n-3}+\ldots =0,$

et pour déterminer les coefficients $\mathrm {M,N,P} ,\ldots ,$ $\mathrm {M',N',P'} ,\ldots ,$ qui sont au nombre de $m,$ il n’y aura qu’à multiplier ces deux facteurs ensemble, et égaler ensuite chaque terme du produit au terme de l’équation proposée dans lequel $x$ aura le même exposant ; on aura par là $m$ équations qui serviront à déterminer tous les coefficients inconnus des facteurs supposés.

On peut aussi considérer simplement le facteur

$x^{n}-\mathrm {M} x^{n-1}+\mathrm {N} x^{n-2}-\mathrm {P} x^{n-3}+\ldots ,$