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en avoir en même temps une autre qui le soit par $\mathrm {A-B} {\sqrt {-1}}\,;$ ainsi chaque facteur imaginaire tel que $x-\mathrm {A-B} {\sqrt {-1}}$ sera toujours accompagné du facteur correspondant $x-\mathrm {A+B} {\sqrt {-1}},$ en sorte que le produit de ces facteurs sera

$x^{2}-2\mathrm {A} x+\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2},$

qui est un facteur du second degré tout réel.

D’où il suit que toute équation pourra se décomposer en des facteurs réels du premier ou du second degré. Or cette proposition paraît de nature à pouvoir être démontrée par les seuls principes de la théorie des équations, et il est clair qu’il suffit pour cela de prouver que toute équation d’un degré plus haut que le second peut toujours se partager en deux autres équations dont les coefficients soient des quantités réelles. C’est l’objet que M. Euler s’est proposé dans les savantes recherches qu’il a données, dans les Mémoires de 1749, sur les racines imaginaires des équations. Il y considère séparément le cas où l’exposant de l’équation est une puissance de $2,$ et celui où cet exposant est une puissance de $2$ multipliée par un nombre quelconque impair ; et dans ce dernier cas il trouve que toute équation du degré $2^{n}m$ ($m$ étant un nomhre impair) peut être divisée par une équation du degré $2^{n}$ dont le coefficient du second terme soit déterminé par une équation d’un degré impair, laquelle aura par conséquent toujours une racine réelle. De la M. Euler conclut d’abord que les coeflicients des autres termes auront aussi des valeurs réelles, parce qu’il suppose qu’en éliminant successivement les puissances de ces coefficients plus hautes que la première, à l’aide des différentes équations de condition qu’on aura entre tous les coefficients, on puisse toujours parvenir à déterminer les coefficients dont il s’agit par des fonctions rationnelles de celui du second terme. Cette réduction paraît en effet toujours possible en général ; il se trouve néanmoins des cas particuliers où elle ne saurait avoir lieu, et dans lesquels par conséquent la démonstration de M. Euler sera insuffisante ; mais cette démonstration est surtout insuffisante à l’égard du premier cas, où le degré de l’équation proposée est supposé être une puissance de $2.$