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quoique d’ailleurs les racines de l’équation puissent être réelles ; de sorte qu’à cet égard les séries de la première solution paraissent préférables, puisqu’elles se présentent toujours sous une forme réelle ; cependant ni les unes ni les autres ne peuvent être regardées comme bonnes, à moins qu’elles ne soient convergentes ; c’est ce que nous examinerons plus bas, § IV.

28. Pour peu qu’on ait fait d’attention la manière dont nous avons résolu le Problème précédent, on verra qu’en général, quelle que soit l’équation proposée, on pourra toujours trouver autant de différentes séries pour exprimer les racines de cette équation, que l’on pourra faire de combinaisons deux à deux des termes de la même équation ; et que de plus chacune de ces séries sera simple, ou double, ou triple, etc., suivant qu’elle répondra à une combinaison où les exposants de $x$ dans les deux termes différeront l’un de l’autre de l’unité, ou de deux unités, ou de trois, etc.

En effet, il est évident qu’on peut trouver autant de séries pour la valeur de $x$ qu’il y a de manières de comparer l’équation proposée à la formule générale

$\alpha -x+\varphi (x)=0$

du n^o 16 ; or, comme on peut prendre pour $\varphi (x)$ une fonction quelconque de $x,$ il s’ensuit qu’on pourra prendre, pour les deux premiers termes $\alpha -x$ de cette formule, deux quelconques des termes de la proposée à volonté ; et qu’ainsi la comparaison pourra se faire d’autant de manières différentes qu’il y aura de combinaisons possibles des termes de cette équation pris deux à deux.

29. Soient en général

$\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +\nu }$

deux termes quelconques de l’équation proposée ; et soit désignée par $\mathrm {X}$ la totalité des autres termes, en sorte que l’équation soit mise sous cette forme

$\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +\nu }+\mathrm {X} =0.$