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c’est la série que Leibnitz a donnée dans le tome cité des Miscellanea Berolinensia.

Si dans cette série on fait $\lambda ,$ négatif, c’est-à-dire qu’on y mette $-\lambda ,$ à la place de $\lambda ,$ et qu’on change en conséquence les différences dont l’exposant sera négatif en intégrales du même ordre, on aura

${\begin{aligned}\int ^{\lambda }=&y\int ^{\lambda }x-\lambda dy\int ^{\lambda +1}x+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}d^{2}y\int ^{\lambda +2}x\\&-{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}d^{3}y\int ^{\lambda +3}x+\ldots \,;\end{aligned}}$

or si l’on suppose, ce qui est permis, que la différentielle $dx$ soit constante, on aura

$\int x={\frac {x^{2}}{2dx}},\quad \int ^{2}x={\frac {x^{3}}{2.3.dx^{2}}},$

et, en général,

$\int ^{\mu }x={\frac {x^{\mu +1}}{2.3.4\ldots (\mu +1)dx^{\mu }}}\,;$

donc substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et la multipliant toute par $dx^{\lambda },$ elle deviendra

$\int ^{\lambda }udx^{\lambda }={\frac {x^{\lambda +1}y}{2.3\ldots (\lambda +1)}}-{\frac {\lambda x^{\lambda +2}dy}{2.3\ldots (\lambda +2)dx}}+{\frac {\lambda (\lambda +1)x^{\lambda +3}d^{2}y}{2\times 2.3\ldots (\lambda +3)dx^{2}}}-\ldots .$

Si dans la formule ci-dessus on met $dx$ à la place de $x,$ en sorte que $u=ydx,$ il faudra mettre $\int ^{\lambda }dx=\int ^{\lambda -1}x$ à la place de $\int ^{\lambda }x,$ et ainsi des autres, et l’on aura

$\int ^{\lambda }ydx=y\int ^{\lambda -1}x-\lambda dy\int ^{\lambda }x+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}d^{2}y\int ^{\lambda +1}x-\ldots ,$

ou bien, en substituant les valeurs de $\int ^{\lambda -1}x,\ \int ^{\lambda }x,\ldots ,$ et multipliant toute l’équation par $dx^{\lambda -1},$

$\int ^{\lambda }ydx^{\lambda }={\frac {x^{\lambda }y}{2.3\ldots \lambda }}-{\frac {\lambda x^{\lambda +1}dy}{2.3\ldots (\lambda +1)dx}}+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}{\frac {x^{\lambda +2}d^{2}y}{2.3\ldots (\lambda +2)dx^{2}}}-\ldots .$