Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/475

Ainsi, faisant $\lambda =1,$ on aura

${\begin{aligned}\int p^{r}dx={\frac {2p^{r+1}}{(2r+1)q}}&\left[1+{\frac {h}{(2r-1)q^{2}}}+{\frac {3h^{2}}{(2r-1)(2r-3)q^{4}}}\right.\\&\quad +\left.{\frac {3.5.h^{3}}{(2r-1)(2r-3)(2r-5)q^{6}}}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Au reste, ces formules pour les intégrations sont en quelque sorte plus curieuses qu’utiles, parce qu’elles ont toujours l’inconvénient d’aller à l’infini, même quand l’intégrale peut être exprimée d’une manière finie ; mais elles n’en sont pas moins remarquables, puisqu’elles servent à montrer de plus en plus l’analogie qu’il y a entre les différentiations et les intégrations.

22. Soit à présent $u$ une fonction de $x$ et $y,$ et supposons par exemple $u=xy,$ on aura donc (18)

${\begin{aligned}u+m&du+{\frac {m^{2}d^{2}u}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}u}{2.3}}+\ldots \\=&\left(x+mdx+{\frac {m^{2}d^{2}x}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}x}{2.3}}+\ldots \right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(y+mdy+{\frac {m^{2}d^{2}y}{2}}+{\frac {m^{3}d^{3}y}{2.3}}+\ldots \right)\\=&xy+m(xdy+ydx)+m^{2}\left({\frac {xd^{2}y}{2}}+dxdy+{\frac {yd^{2}x}{2}}\right)\\&+m^{3}\left({\frac {xd^{3}y}{1.2.3}}+{\frac {dxd^{2}y}{1\times 1.2}}+{\frac {dyd^{2}x}{1\times 1.2}}+{\frac {yd^{3}x}{1.2.3}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, comparant les termes affectés des mêmes puissances de $m,$ on aura

${\begin{aligned}u&=xy,\\du&=xdy\ \,+ydx,\\d^{2}u&=xd^{2}y+2dxdy\ \,+yd^{2}x,\\d^{3}u&=xd^{3}y+3dxd^{2}y+3dyd^{2}x+yd^{3}x,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

${\begin{aligned}d^{\lambda }=&yd^{\lambda }x+\lambda dyd^{\lambda -1}x+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}d^{2}yd^{\lambda -2}x\\&+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)}{2.3}}d^{3}yd^{\lambda -3}x+\ldots \,;\end{aligned}}$