Ainsi cette série, multipliée par
sera égale au terme
![{\displaystyle {\frac {m^{\lambda }d^{\lambda }u}{1.2.3\ldots \lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80697d2407e35816c9dc327c2e61b010f10d699e)
de sorte qu’on aura, en remettant
à la place de
et
à la place de ![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{\lambda }p^{r}=&2r(2r-1)(2r-2)\ldots (2r-\lambda +1)\left({\frac {q}{2}}\right)^{\lambda }p^{r-\lambda }dx^{\lambda }\\&\times \left[1+r{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2r(2r-1)}}{\frac {h}{q^{2}}}+{\frac {r(r-1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)}}{\frac {h^{2}}{q^{4}}}\right.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bafd27bd3ed95a50357925f5437d447bf91d161)
![{\displaystyle \left.+{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda -1)\ldots (\lambda -5)}{2r(2r-1)\ldots (2r-5)}}{\frac {h^{3}}{q^{6}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38455bfed6b394146d69f133eea2a0f855ce07d5)
Si dans cette formule on fait
![{\displaystyle r=-{\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad p=1-x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5616e3a2ec9a385f1ca6bc72d611b8009489a)
par conséquent
![{\displaystyle a=1,\quad b=0,\quad c=-1,\quad q=-2x,\quad h=-4,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edf52a5d411212db7659e388786210eb1e1c909)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{\lambda }{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=&{\frac {1.2.3\ldots \lambda .x^{\lambda }dx^{\lambda }}{\left(1-x^{2}\right)^{\lambda +{\frac {1}{2}}}}}\\&\times \left[1+{\frac {1}{2}}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{1.2.x^{2}}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{1.2.3.4.x^{4}}}\right.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15edc58d4ef4806118edb6d612844e73ad39634)
![{\displaystyle \left.+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {\lambda (\lambda -1)\ldots (\lambda -5)}{1.2\ldots 6.x^{6}}}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a687c21f61ff1c600c4dd226233e3fb0f1205b0)
C’est la formule que M. Euler a trouvée par induction dans ses Institutions du Calcul différentiel.
On peut aussi, dans la formule générale ci-dessus, faire
négatif, et l’on aura alors, comme dans le numéro précédent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int ^{\lambda }p^{r}dx^{\lambda }&={\frac {p^{r+\lambda }}{(2r+1)(2r+2)\ldots (2r+\lambda )\left({\frac {q}{2}}\right)^{\lambda }}}\\&\times \left[1+r{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2r(2r-1)}}{\frac {h}{q^{2}}}+{\frac {r(r-1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)}}{\frac {h^{2}}{q^{4}}}\right.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a2db0d751e1b0e3da47723f0381384d6ea0bea)
![{\displaystyle \left.+{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)\ldots (\lambda +5)}{2r(2r-1)(2r-2)\ldots (2r-5)}}{\frac {h^{3}}{q^{6}}}=\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70938ae40a1484832f30062ccafc16018530778e)