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21. On peut encore trouver une autre expression de $d^{\lambda }u,$ laquelle reviendra au même pour le fond, mais qui pourra être regardée comme plus simple pour la forme.

Pour cela je reprends la quantité

$\left(p+mqdx+m^{2}cdx^{2}\right)^{r},$

dont il s’agit de trouver le terme affecté de $m^{\lambda },$ et je fais pour un moment $dx=2pdt\,;$ elle deviendra

$p^{r}\left(1+2mqdt+4m^{2}pcdt^{2}\right)^{r}\,;$

je considère maintenant que

$4pc-q^{2}=4c\left(a+bx+cx^{2}\right)-(b+2cx)^{2}=4ca-b^{2}\,;$

d’où il s’ensuit que si l’on fait, pour abréger,

$4ca-b^{2}=h,$

on aura $4pc=h+q^{2},$ ce qui réduira l’expression précédente à celle-ci

$p^{r}\left[(1+mqdt)^{2}+m^{2}hdt^{2}\right]^{r}.$

Or la quantité

$\left[(1+mqdt)^{2}+m^{2}hdt^{2}\right]^{r}$

se développe d’abord en cette série

${\begin{aligned}&(1+mqdt)^{2r}+r(1+mqdt)^{2r-2}hm^{2}dt^{2}+{\frac {r(r-1)}{2}}(1+mqdt)^{2r-4}h^{2}m^{4}dt^{4}\\&\quad +{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}(1+mqdt)^{2r-6}h^{3}m^{6}dt^{6}+\ldots \,;\end{aligned}}$

ensuite, développant encore chaque puissance de $1+mqdt,$ on trouvera que le terme affecté de $m^{\lambda }$ sera représenté par la série

${\begin{aligned}&{\frac {2r(2r-1)(2r-2)\ldots (2r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}m^{\lambda }q^{\lambda }dt^{\lambda }\\&\quad +r{\frac {(2r-2)(2r-3)\ldots (2r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots (\lambda -2)}}m^{\lambda }q^{\lambda -2}hdt^{\lambda }\\&\quad +{\frac {r(r-1)}{2}}{\frac {(2r-4)(2r-5)\ldots (2r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots (\lambda -4)}}m^{\lambda }q^{\lambda -4}h^{2}dt^{\lambda }\\&\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$