et ainsi de suite, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{\lambda }p^{r}=&r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)p^{r-\lambda }q^{\lambda }dx^{\lambda }\\&\times \left[1+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{r-\lambda +1}}{\frac {cp}{q^{2}}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{2(r-\lambda +1)(r-\lambda +2)}}{\frac {c^{2}p^{2}}{q^{4}}}\right.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c48c79c116e83d751eb7ad265133612ec1a925e)
![{\displaystyle +\left.{\frac {\lambda (\lambda -1)\ldots (\lambda -5)}{2.3.(r-\lambda +1)(r-\lambda +2)(r-\lambda +3)}}{\frac {c^{3}p^{3}}{q^{6}}}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a095747e4079f62e4f1a777ed52f771b332de32b)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&a+bx+cx^{2},\\q=&b+2cx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3f6ade975290315002b446d75071499cbd525c)
De là on peut, en changeant
en
tirer la valeur de
et l’on trouvera, d’après ce qui a été remarqué dans le numéro précédent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int ^{\lambda }p^{r}d^{\lambda }=&{\frac {p^{r+\lambda }}{(r+1)(r+2)\ldots (r+\lambda )q^{\lambda }}}\\&\times \left[1+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{r+\lambda +1}}{\frac {cp}{q^{2}}}+{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2(r+\lambda +1)(r+\lambda +2)}}{\frac {c^{2}p^{2}}{q^{4}}}\right.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5902749b53170ddabcea995ec9b7798de1f971)
![{\displaystyle +\left.{\frac {\lambda (\lambda +1)\ldots (\lambda +5)}{2.3.(r+\lambda +1)(r+\lambda +2)(r+\lambda +3)}}{\frac {c^{3}p^{3}}{q^{6}}}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def5b6a68031ec8d974dbf03abd6b5d85a105337)
Ainsi, faisant
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int p^{r}dx={\frac {p^{r+1}}{(r+1)q}}&\left[1+{\frac {2cp}{(r+2)q^{2}}}+{\frac {3.4.c^{2}p^{2}}{(r+2)(r+3)q^{4}}}\right.\\&\quad +\left.+{\frac {4.5.6.c^{3}p^{3}}{(r+2)(r+3)(r+4)q^{6}}}+\ldots \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4392c999a25b0ff437aec2fb5b3e0ce8394a3a84)
ce qu’on peut aisément vérifier par la différentiation.
Si dans l’expression précédente on fait
on aura plus simplement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int p^{r}dx=&{\frac {p^{r+1}}{(r+1)q}}+{\frac {kp^{r+2}}{(r+1)(r+2)q^{3}}}+{\frac {1.3.k^{2}p^{r+3}}{(r+1)(r+2)(r+3)q^{5}}}\\&+{\frac {1.3.5.k^{3}p^{r+5}}{(r+1)(r+2)(r+3)(r+4)q^{7}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167c5bee51aa4b3e1b0cd416abdc6af573e41885)
et l’on reconnaîtra facilement la vérité de cette formule en remarquant que
et ![{\displaystyle dq=kdx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48dd5ec738f8aaa663ffb8cc991356d2e4af9ea)