Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/471

représenté par

$\left[\mathrm {A} +r\mathrm {B} c+{\frac {r(r-1)}{2}}\mathrm {C} c^{2}+{\frac {r(r-1)(r-3)}{2.3}}\mathrm {D} c^{3}+\ldots \right]m^{\lambda }dx^{\lambda }\,;$

or le terme affecté de $m^{\lambda }$ dans la série

$u+mdu+{\frac {m^{2}d^{2}u}{2}}+\ldots$

est évidemment

${\frac {m^{\lambda }d^{\lambda }u}{1.2.3\ldots \lambda }}\,;$

ainsi, comparant ces deux termes, on aura

$d^{\lambda }u=1.2.3\ldots \lambda \left[\mathrm {A} +r\mathrm {B} c+{\frac {r(r-1)}{2}}\mathrm {C} c^{2}+\ldots \right]dx^{\lambda },$

où $u=p^{r}.$

Mais il est facile de voir que l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}p^{r-\lambda }q^{\lambda },\\\mathrm {B} =&{\frac {(r-1)(r-2)(r-3)\ldots (r-\lambda +2)}{1.2.3\ldots (\lambda -2)}}p^{r-\lambda +1}q^{\lambda -2},\\\mathrm {C} =&{\frac {(r-2)(r-3)(r-4)\ldots (r-\lambda +3)}{1.2.3\ldots (\lambda -4)}}p^{r-\lambda +2}q^{\lambda -4},\\\mathrm {D} =&{\frac {(r-3)(r-4)(r-5)\ldots (r-\lambda +4)}{1.2.3\ldots (\lambda -6)}}p^{r-\lambda +3}q^{\lambda -6},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, substituant ces valeurs, et faisant attention que

${\begin{aligned}&{\frac {(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +2)}{1.2\ldots (\lambda -2)}}\\&\quad ={\frac {r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{r(r-\lambda +1)}},\\\\&{\frac {(r-2)(r-3)\ldots (r-\lambda +3)}{1.2.3\ldots (\lambda -4)}}\\&\quad ={\frac {r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{r(r-1)(r-\lambda +1)(r-\lambda +2)}},\end{aligned}}$