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Supposons en effet

$\varphi (x)=\left(a+bx+cx^{2}\right)^{r}=u,$

on verra aisément que les différentielles de $\varphi (x)$ seront exprimées par des séries dont il ne sera pas aisé de trouver la loi, pour avoir l’expression de $d^{\lambda }\varphi (x)\,;$ suivant notre méthode il n’y aura qu’à mettre $x+mdx$ à la place de $x,$ ce qui rendra $a+bx+cx^{2}$ égal à

$a+bx+cx^{2}+m(b+2cx)dx+m^{2}cdx^{2}\,;$

de sorte que la difficulté ne consistera qu’à réduire l’expression

$\left[a+bx+cx^{2}+m(b+2cx)dx+m^{2}cdx^{2}\right]^{r}$

en une série qui procède suivant les puissances de $m.$

Faisons pour plus de simplicité

${\begin{aligned}&a+bx+cx^{2}=p,\\&b+2cx=q,\end{aligned}}$

en sorte que la quantité proposée devienne

$\left(p+mqdx+m^{2}cdx^{2}\right)^{r}.$

Je la développe d’abord ainsi

$(p+mqdx)^{r}+r(p+mqdx)^{r-1}cm^{2}dx^{2}+{\frac {r(r-1)}{2}}(p+mqdx)^{r-2}c^{2}m^{4}dx^{4}$

$+{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}(p+mqdx)^{r-3}c^{3}m^{6}dx^{6}+\ldots ,$

et il ne s’agira plus que de développer de même les différentes puissances de $p+qmdx.$

Supposons qu’on veuille avoir, en général, le terme qui sera affecté de la puissance $m^{\lambda },$ il est clair que si l’on dénote par $\mathrm {A} m^{\lambda }dx^{\lambda }$ le terme affecté de $m^{\lambda }$ dans la puissance $(p+mqdx)^{r},$ par $\mathrm {B} m^{\lambda -2}dx^{\lambda -2}$ le terme affecté de $m^{\lambda -2}$ dans la puissance $(p+mqdx)^{r-1},$ par $\mathrm {C} m^{\lambda -4}dx^{\lambda -4}$ le terme affecté de $m^{\lambda -4}$ dans la puissance $(p+mqdx)^{r-2},$ et ainsi de suite, il est clair, dis-je, que le terme affecté de $m^{\lambda }$ dans la série précédente sera