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ce qui montre (26) que ces séries représentent effectivement la première et la seconde racine de l’équation dont il s’agit. C’est aussi de quoi on peut se convaincre facilement à posteriori en résolvant en série le radical ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$ qui entre dans l’expression de $x$ (9), mais en prenant $-4ac$ pour le premier terme du binôme et $b^{2}$ pour le second.

Donc, faisant

$\rho =\pm {\sqrt {\frac {-a}{c}}},$

on aura, en général, dans l’équation

$a-bx+cx^{2}=0$

cette double valeur de $x^{m},$ savoir

$x^{m}=\rho ^{m}\left[1-{\frac {m^{2}}{2}}{\frac {b^{2}}{4ac}}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}{\frac {b^{4}}{2^{4}a^{2}c^{2}}}\right.$

$\left.-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}{\frac {b^{6}}{2^{6}a^{3}c^{3}}}+\ldots \right]$

$-m\rho ^{m+1}{\frac {b}{2a}}\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2.3}}{\frac {b^{2}}{4ac}}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}{\frac {b^{4}}{2^{4}a^{2}c^{2}}}\right.$

$\left.-{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\left(m^{2}-25\right)}{2.3.4.5.6.7}}{\frac {b^{6}}{2^{6}a^{3}c^{3}}}+\ldots \right]$

Et si l’on veut avoir le logarithme de $x,$ on trouvera

$\log x=\log \rho -\rho {\frac {b}{2a}}\left(1+{\frac {1.1}{2.3}}{\frac {b^{2}}{4ac}}+{\frac {1.1.3.3}{2.3.4.5}}{\frac {b^{4}}{2^{4}a^{2}c^{2}}}+{\frac {1.1.3.3.5.5}{2.3.4.5.6.7}}{\frac {b^{6}}{2^{6}a^{3}c^{3}}}+\ldots \right).$

Remarque. — Les séries trouvées dans la première solution ont l’avantage de ne renfermer que des quantités rationnelles, au lieu que celles de la seconde solution renferment la quantité irrationnelle

${\sqrt {-{\frac {a}{c}}}},$

laquelle devient même imaginaire lorsque $a$ et $c$ sont de même signe,