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16. Supposons maintenant que $u$ soit une fonction de deux variables $x$ et $y,$ on aura dans ce cas, en faisant $\zeta '=0,\ldots ,$

$\Delta 'u=\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}-1.$

La quantité $\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}$ donne comme ci-dessus la série

$1+{\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\xi }u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )}{2.3.\xi ^{3}}}\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u+\ldots ,$

et de même la quantité $\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}$ donnera la série

$1+{\frac {\psi '}{\psi }}\Delta _{\psi }u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )}{2\psi ^{2}}}\Delta _{\psi ^{2}}^{2}u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )(\psi '-2\psi )}{2.3.\psi ^{3}}}\Delta _{\psi ^{3}}^{3}u+\ldots .$

Donc, multipliant une série par l’autre et ayant égard aux remarques faites vers la fin du n^o 13, on aura

${\begin{aligned}1&+{\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\xi }u+{\frac {\psi '}{\psi }}\Delta _{\psi }u\\&+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u+{\frac {\xi '\psi '}{\xi \psi }}\Delta _{\xi \psi }^{2}u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )}{2\psi ^{2}}}\Delta _{\psi ^{2}}^{2}u\\&+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )}{2.3.\xi ^{3}}}\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}{\frac {\psi '}{\psi }}\Delta _{\xi ^{2}\psi }^{3}u\\&+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )}{2\psi ^{2}}}{\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\psi ^{2}\xi }^{3}u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )(\psi '-2\psi )}{2.3.\psi ^{3}}}\Delta _{\psi ^{3}}^{3}u\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}\Delta 'u&={\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\xi }u+{\frac {\psi '}{\psi }}\Delta _{\psi }u\\&+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u+{\frac {\xi '\psi '}{\xi \psi }}\Delta _{\xi \psi }^{2}u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )}{2\psi ^{2}}}\Delta _{\psi ^{2}}^{2}u\\&+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )}{2.3.\xi ^{3}}}\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}{\frac {\psi '}{\psi }}\Delta _{\xi ^{2}\psi }^{3}u\\&+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )}{2\psi ^{2}}}{\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\psi ^{2}\xi }^{3}u+{\frac {\psi '(\psi '-\psi )(\psi '-2\psi )}{2.3.\psi ^{3}}}\Delta _{\psi ^{3}}^{3}u\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

c’est l’accroissement que doit prendre la fonction $u$ lorsque $x$ et $y$ y deviennent à la fois $x+\xi ',\ y+\psi '.$