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où il faudra développer le second membre de la manière que nous l’avons dit ci-dessus.

15. Les formules précédentes renferment la théorie des interpolations prise dans toute la généralité possible ; par exemple, supposons d’abord que l’on ait une fonction $u$ de $x$ seul, dont on connaisse les différentes valeurs lorsque $x$ devient successivement $x+\xi ,\ x+2\xi ,\ x+3\xi ,\ldots ,$ et qu’on demande la valeur de la même fonction lorsque $x$ devient $x+\xi ',$ $\xi '$ étant une quantité quelconque. On aura donc dans ce cas $\psi =0,\ \zeta =0,\ldots ,$ et par conséquent

$\Delta 'u=\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}-1.$

Or la puissance $\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}$ étant développée suivant la méthode ordinaire donne

$1+{\frac {\xi '}{\xi }}\left(\Delta _{\xi }u\right)+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}\left(\Delta _{\xi }u\right)^{2}+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )}{2.3.\xi ^{3}}}\left(\Delta _{\xi }u\right)^{3}+\ldots .$

Donc, changeant $\left(\Delta _{\xi }u\right)^{2}$ en $\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u,$ $\left(\Delta _{\xi }u\right)^{3}$ en $\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u$ et ainsi de suite, on aura

$\Delta 'u={\frac {\xi '\Delta _{\xi }u}{\xi }}+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u}{2\xi ^{2}}}+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u}{2.3.\xi ^{3}}}+\ldots \,;$

c’est l’accroissement que doit prendre la fonction $u$ lorsque $x$ devient égal à $x+\xi '\,;$ de sorte que la valeur de la fonction $u$ répondante à $x+\xi '$ sera exprimée par la série

$u+{\frac {\xi '}{\xi }}\Delta _{\xi }u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )}{2\xi ^{2}}}\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u+{\frac {\xi '(\xi '-\xi )(\xi '-2\xi )}{2.3.\xi ^{3}}}\Delta _{\xi ^{3}}^{3}u+\ldots .$

Ainsi, si l’on a une série dont les termes successifs soient exprimés par une même fonction de $x,\ x+\xi ,\ x+2\xi ,\ x+3\xi ,\ldots ,$ la formule précédente donnera la valeur d’un terme quelconque intermédiaire répondant à $x+\xi ',$ en prenant pour $u$ le terme répondant à $x,$ pour $\Delta _{\xi }u$ la différence entre les deux termes répondants à $x+\xi$ et $x,$ pour $\Delta _{\xi ^{2}}^{2}u$ la différence seconde entre les trois termes répondants à $x+2\xi ,\ x+\xi ,x,$ et ainsi de suite.