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Donc

$e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }=\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}\left(1+\Delta _{\zeta }u\right)^{\frac {\zeta '}{\zeta }}\ldots .$

Et par conséquent

$\Delta 'u=\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}\left(1+\Delta _{\zeta }u\right)^{\frac {\zeta '}{\zeta }}\ldots -1,$

équation par laquelle on pourra déterminer la valeur complète de la différence $\Delta 'u$ de la fonction $u$ lorsque les variables $x,y,z,\ldots$ y croissent en même temps de $\xi ',\psi ',\zeta ',\ldots ,$ au moyen des différences partielles $\Delta _{\xi }u,\Delta _{\psi }u,\ldots$ de la même fonction, lesquelles résultent lorsque les variables $x,y,z,$ croissent séparément des quantités, $\xi ,\psi ,\zeta ,\ldots .$

Pour pouvoir faire usage de cette équation il faudra développer les puissances de $1+\Delta _{\xi }u,\ 1+\Delta _{\psi }u,\ldots$ et le produit de ces puissances, suivant les puissances de $\Delta u,$ ensuite on appliquera à la caractéristique $\Delta$ l’exposant de la puissance à laquelle la quantité $\Delta u$ se trouvera élevée, et l’on multipliera ensemble les quantités qui se trouveront au-dessous de la lettre $\Delta \,;$ ainsi par exemple $\left(\Delta _{\xi }u\right)^{2}$ donnera $\Delta _{\xi \xi }^{2}u,$ ce qui indiquera la différence seconde de $u$ prise en faisant varier $x$ seul successivement de $\xi \,;$ mais $\Delta _{\xi }u\times \Delta _{\psi }u$ donnera $\Delta _{\xi \psi }^{2}u,$ ce qui indiquera de même la différence seconde de $u,$ mais prise en faisant varier d’abord $x$ de $\xi ,$ et ensuite $y$ de $\psi ,$ et ainsi des autres. La raison de cette opération est facile à apercevoir par la nature de notre calcul.

On pourra aussi tirer de là la valeur de la différence d’un degré quelconque, et pour cela il n’y aura qu’à élever les deux membres de l’équation à une puissance dont l’exposant soit le même que celui du degré de la différence ; de cette manière on aura, en général,

$\Delta ^{'\lambda }u=\left[\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}\left(1+\Delta _{\zeta }u\right)^{\frac {\zeta '}{\zeta }}\ldots -1\right]^{\lambda },$

et, changeant $\lambda$ en $-\lambda ,$ on aura aussi

$\sideset {}{^{'\lambda }}\sum u={\frac {1}{\left[\left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}\left(1+\Delta _{\zeta }u\right)^{\frac {\zeta '}{\zeta }}\ldots -1\right]^{\lambda }}},$