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De même, si l’on suppose que les variables $x,y,z,\ldots$ deviennent $x+\xi ',$$y+\psi ',\ z+\zeta ',\ldots ,$ $\xi ',\psi ',\zeta ',\ldots$ étant des quantités différentes de $\xi ,\psi ,$$\zeta ,\ldots ,$ et qu’on désigne par $\Delta 'u$ l’accroissement correspondant de $u,$ on aura

$\Delta 'u=e^{{\frac {du}{dx}}\xi '+{\frac {du}{dy}}\psi '+{\frac {du}{dz}}\zeta '+\ldots }-1.$

Or la première équation donne, comme on l’a déjà vu plus haut,

$\log(1+\Delta u)={\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots ,$

et comme les quantités $\xi ,\psi ,\zeta ,\ldots$ sont indépendantes les unes des autres, il est clair qu’en supposant d’abord $\psi =0,\ \zeta =0,\ldots ,$ on aura

${\frac {du}{dx}}\xi =\log(1+\Delta u),$

où $\Delta u$ désigne l’accroissementde $u$ qui a lieu tandis que $x$ seul croit de $\xi \,;$ de sorte qu’en désignant cet accroissement partiel de $u$ par $\Delta _{\xi }u,$ on aura

${\frac {du}{dx}}={\frac {\log \left(1+\Delta _{\xi }u\right)}{\xi }}.$

De même, si l’on désigne par $\Delta _{\psi }u,\Delta _{\zeta }u,\ldots$ les accroissements partiels de $u$ qui ont lieu lorsque $y,z,\ldots$ deviennent chacun à part $y+\psi ,\ z+\zeta ,\ldots ,$ on aura

${\frac {du}{dy}}={\frac {\log \left(1+\Delta _{\psi }u\right)}{\psi }},\quad {\frac {du}{dz}}={\frac {\log \left(1+\Delta _{\zeta }u\right)}{\zeta }},\ldots .$

Ainsi l’on aura

${\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&\xi '+{\frac {du}{dy}}\psi '+{\frac {du}{dz}}\zeta '+\ldots \\&={\frac {\xi '}{\xi }}\log \left(1+\Delta _{\xi }u\right)+{\frac {\psi '}{\psi }}\log \left(1+\Delta _{\psi }u\right)+{\frac {\zeta '}{\zeta }}\log \left(1+\Delta _{\zeta }u\right)+\ldots \\&=\log \left(1+\Delta _{\xi }u\right)^{\frac {\xi '}{\xi }}\left(1+\Delta _{\psi }u\right)^{\frac {\psi '}{\psi }}\left(1+\Delta _{\zeta }u\right)^{\frac {\zeta '}{\zeta }}\ldots .\end{aligned}}$