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par conséquent, en retranchant cette équation de la précédente, on aura

${\begin{aligned}&\log {\frac {x}{x-n}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}+\ldots +{\frac {1}{x-n}}\\&+\mu \left[{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x-n}}\right]-\nu \left[{\frac {1}{x(x+1)}}-{\frac {1}{(x-n)(x-n+1)}}\right]\\&+2\varpi \left[{\frac {1}{x(x+1)(x+2)}}-{\frac {1}{(x-n)(x-n+1)(x-n+2)}}\right]\\&-2.3.\chi \left[{\frac {1}{x(x+1)(x+2)(x+3)}}-{\frac {1}{(x-n)(x-n+1)(x-n+2)(x-n+3)}}\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si l’on fait $n=1,$ on aura

${\begin{aligned}\log {\frac {x}{x-1}}=&{\frac {1}{x-1}}-{\frac {\mu }{(x-1)x}}+{\frac {2\nu }{(x-1)x(x+1)}}\\&-{\frac {2.3.\varpi }{(x-1)x(x+1)(x+2)}}+\ldots ,\end{aligned}}$

ou bien, en mettant $x$ à la place de $x-1,$ et par conséquent $x+1$ à la place de $x,$

${\begin{aligned}&\log \left(1+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{x}}-{\frac {\mu }{x(x+1)}}+{\frac {2\nu }{x(x+1)(x+2)}}\\&\quad -{\frac {2.3.\varpi }{x(x+1)(x+2)(x+3)}}+{\frac {2.3.4.\chi }{x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}}-\ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire

$\log \left(1+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{x}}\left[1-{\frac {\mu }{1+x}}+{\frac {\nu }{(1+x)\left(1+{\frac {x}{2}}\right)}}-{\frac {\varpi }{(1+x)\left(1+{\frac {x}{2}}\right)\left(1+{\frac {x}{3}}\right)}}\right.$

$\left.+{\frac {\chi }{(1+x)\left(1+{\frac {x}{2}}\right)\left(1+{\frac {x}{3}}\right)\left(1+{\frac {x}{4}}\right)}}-\ldots \right].$

14. Nous avons vu que toute fonction $u$ de plusieurs variables $x,y,z,\ldots$ devient $u+\Delta u$ lorsque ces variables deviennent $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta ,\ldots ,$ où l’accroissement $\Delta u$ est déterminé par la formule

$\Delta u=e^{{\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots }-1.$