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Pour donner un exemple de l’usage de cette formule, soit proposé de trouver l’intégrale de ${\frac {dx}{x}},$ qu’on sait d’ailleurs être égale à $\log x\,;$ on aura donc dans ce cas $u={\frac {1}{x}},$ et faisant, pour plus de simplicité, $\xi =1,$ on aura

$\log x=\sum {\frac {1}{x}}+{\frac {\mu }{x}}+\nu \Delta {\frac {1}{x}}+\varpi \Delta ^{2}{\frac {1}{x}}+\chi \Delta ^{3}{\frac {1}{x}}+\ldots .$

Or puisque $\xi =1,$ on aura

${\begin{aligned}\sum {\frac {1}{x}}=&{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}+\ldots ,\\\Delta \ \ {\frac {1}{x}}=&{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x(x+1)}},\\\Delta ^{2}{\frac {1}{x}}=&-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}+{\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {2}{x(x+1)(x+2)}},\\\Delta ^{3}{\frac {1}{x}}=&{\frac {2}{(x+1)(x+2)(x+3)}}-{\frac {2}{x(x+1)(x+2)}}=-{\frac {2.3}{x(x+1)(x+2)(x+3)}},\end{aligned}}$

et, en général,

$\Delta ^{\lambda }{\frac {1}{x}}=\pm {\frac {1.2.3\ldots \lambda }{x(x+1)(x+2)\ldots (x+\lambda )}},$

le signe supérieur étant pour le cas où $\lambda$ est pair, et l’inférieur pour le cas où $\lambda$ est impair.

Donc, substituant ces valeurs, on aura

${\begin{aligned}\log x=&{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}+\ldots \\&+{\frac {\mu }{x}}-{\frac {\nu }{x(x+1)}}+{\frac {2\varpi }{x(x+1)(x+2)}}-{\frac {2.3.\chi }{x(x+1)(x+2)(x+3)}}+\ldots .\end{aligned}}$

De même, si l’on met $x-n$ à la place de $x,$ $n$ étant un nombre entier quelconque, on aura

${\begin{aligned}\log(x-n)=&{\frac {1}{x-n-1}}+{\frac {1}{x-n-2}}+{\frac {1}{x-n-3}}+\ldots \\&+{\frac {\mu }{x-n}}-{\frac {\nu }{x-n(x-n+1)}}\\&+{\frac {2\varpi }{(x-n)(x-n+1)(x-n+2)}}-\ldots \,;\end{aligned}}$