Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/459

savoir

${\frac {d^{\lambda }u}{dx^{\lambda }}}\xi ^{\lambda }=\Delta ^{\lambda }u+\mathrm {M} \Delta ^{\lambda +1}u+\mathrm {N} \Delta ^{\lambda +2}u+\mathrm {P} \Delta ^{\lambda +3}u+\ldots ,$

ce qui donne le moyen de trouver la valeur de la différentielle d’un ordre quelconque de la fonction $u$ à l’aide des différences finies de la même fonction.

Or, si dans la même formule on fait $\lambda$ négatif, c’est-à-dire si l’on y met $-\lambda$ à la place de $\lambda ,$ on aura, en changeant les différences en sommes,

${\frac {\int ^{\lambda }udx^{\lambda }}{\xi ^{\lambda }}}=\sideset {}{^{\lambda }}\sum u+\mu \sideset {}{^{\lambda -1}}\sum u+\nu \sideset {}{^{\lambda -2}}\sum u+\varpi \sideset {}{^{\lambda -3}}\sum u+\ldots ,$

où les coefficients $\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots$ seront déterminés par les formules suivantes

${\begin{aligned}\mu &={\frac {\lambda }{2}},\\2\nu &={\frac {(\lambda -1)\mu }{2}}-{\frac {\lambda }{2.3}},\\3\varpi &={\frac {(\lambda -2)\nu }{2}}-{\frac {(\lambda -1)\mu }{2.3}}+{\frac {\lambda }{3.4}},\\4\chi &={\frac {(\lambda -3)\varpi }{2}}-{\frac {(\lambda -2)\nu }{2.3}}+{\frac {(\lambda -1)\mu }{3.4}}-{\frac {\lambda }{4.5}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si l’on fait $\lambda =1,$ on aura donc

${\frac {\int udx}{\xi }}=\sum u+\mu u+\nu \Delta u+\varpi \Delta ^{2}u+\chi \Delta ^{3}u\ldots ,$

formule qui peut servir à calculer les aires des courbes par les sommes et les différences des coordonnées équidistantes. Cotes, Stirling et d’autres ont déjà donné des formules pour calculer l’aire d’une courbe dont on connaît un certain nombre de coordonnées équidistantes ; mais la formule précédente est différente de celles de ces Auteurs, et me paraît préférable en ce qu’on y emploie les différences successives des cordonnées, lesquelles vont ordinairement en diminuant, et surtout en ce qu’on y voit aisément la loi des termes, de manière qu’on peut continuer la série aussi loin qu’on veut.