Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/457

ce qui donne un moyen de trouver les valeurs de ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}},\ldots$ à l’aide des différences finies de la fonction $u.$

Mais ce n’est pas tout : on peut également élever les deux membres de l’équation à une puissance quelconque $\lambda ,$ positive ou négative, en sorte qu’on ait

$\left({\frac {du}{dx}}\xi +{\frac {du}{dy}}\psi +{\frac {du}{dz}}\zeta +\ldots \right)^{\lambda }=\left[\log(1+\Delta u)\right]^{\lambda },$

et cette équation sera toujours vraie pourvu qu’après le développement des deux membres suivant les puissances de $du$ et de $\Delta u,$ on change les puissances positives en différences, et les négatives en sommes.

Pour cet effet, considérons la quantité $\left[\log(1+\omega )\right]^{\lambda },$ et voyons comment elle peut se développer en une série qui procède suivant les puissances de $\omega .$ Il est d’abord clair que si $\omega$ était très-petit, on aurait $\log(1+\omega )=\omega ,$ d’où il s’ensuit que le premier terme de la série dont il s’agit sera $\omega ^{\lambda },$ et qu’ainsi elle aura cette forme

$\omega ^{\lambda }\mathrm {\left(1+M\omega +N\omega ^{2}+P\omega ^{3}+Q\omega ^{4}+\ldots \right)} .$

Supposons donc

$\left[\log(1+\omega )\right]^{\lambda }=\omega ^{\lambda }\mathrm {\left(1+M\omega +N\omega ^{2}+P\omega ^{3}+\ldots \right)} ,$

et, prenant les logarithmes de part et d’autre, on aura

$\lambda \left[\log .\log(1+\omega )-\log \omega \right]=\log \mathrm {\left(1+M\omega +N\omega ^{2}+P\omega ^{3}+\ldots \right)} ,$

d’où l’on tirera par la différentiation

$\lambda \left[{\frac {1}{(1+\omega )\log(1+\omega )}}-{\frac {1}{\omega }}\right]=\mathrm {\frac {M+2N\omega +3P\omega ^{2}+4Q\omega ^{3}+\ldots }{1+M\omega +N\omega ^{2}+P\omega ^{3}+Q\omega ^{4}+\ldots }} .$

Or

$\log(1+\omega )=\omega -{\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega ^{3}}{3}}-{\frac {\omega ^{4}}{4}}+\ldots \,;$

donc, multipliant cette série par $1+\omega ,$ on aura

$(1+\omega )\log(1+\omega )=\omega +{\frac {\omega ^{2}}{2}}-{\frac {\omega ^{3}}{2.3}}+{\frac {\omega ^{4}}{3.4}}-{\frac {\omega ^{5}}{4.5}}+\ldots ,$