Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/455

où

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {\lambda }{2}},\\2\beta &={\frac {(\lambda -1)\alpha }{2}}+{\frac {\lambda }{2.3}},\\3\gamma &={\frac {(\lambda -2)\beta }{2}}+{\frac {(\lambda -1)\alpha }{2.3}}+{\frac {\lambda }{2.3.4}},\\4\delta &={\frac {(\lambda -3)\gamma }{2}}+{\frac {(\lambda -2)\beta }{2.3}}+{\frac {(\lambda -1)\alpha }{2.3.4}}+{\frac {\lambda }{2.3.4.5}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si $\lambda =1,$ on aura donc

$\sum u={\frac {\int udx}{\xi }}-\alpha u+\beta {\frac {du}{dx}}\xi -\gamma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\xi ^{2}+\delta {\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}\xi ^{3}-\ldots ,$

parce que

$\int ^{-1}udx^{-1}={\frac {du}{dx}},\quad \int ^{-2}udx^{-2}={\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},\ldots .$

C’est la formule connue pour trouver la somme d’une série dont on connaît le terme général.

En effet soit $u=\varphi (x),$ on aura, par la nature des sommations,

$\sum u=\varphi (x-\xi )+\varphi (x-2\xi )+\ldots \,;$

donc, si suivant la notation reçue on fait

$\int \varphi (x)dx=^{\text{‵}}\!\varphi (x),\quad {\frac {d\varphi (x)}{dx}}=\varphi '(x),\quad {\frac {d^{2}\varphi (x)}{dx^{2}}}=\varphi ''(x),\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\varphi &(x-\xi )+\varphi (x-2\xi )+\varphi (x-3\xi )+\ldots \\&={\frac {^{\text{‵}}\varphi (x)}{\xi }}-\alpha \varphi (x)+\beta \varphi '(x).\xi -\gamma \varphi ''(x).\xi ^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Si maintenant dans cette formule on écrit $x-n\xi$ à la place de $x,$ on